Η αρχή του Απείρου

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Του Χρήστου Λάσκου*
 
STEVEN STROGATZ, Άπειρες δυνάμεις, εκδόσεις Κάτοπτρο, σελ. 480
 

Ο απειροστικός λογισμός είναι η γλώσσα που μιλάει ο Θεός

Richard Feynman

Είναι πολλοί όσοι έχουν έρθει σε επαφή με τον απειροστικό λογισμό στα μαθητικά τους χρόνια. Ακόμη και η λεγόμενη «θεωρητική» κατεύθυνση κάτι από συναρτήσεις έκανε. Οι υπόλοιποι, οι περισσότεροι δηλαδή, στην Γ΄ τάξη του Λυκείου ασχολήθηκαν πολύ με όρια, μονοτονίες, συνέχειες και ασυνέχειες, παραγώγους, ολοκληρώματα…  Άλλωστε, ο απειροστικός λογισμός αποτελεί την ύλη των πανελλαδικών εξετάσεων στα μαθηματικά. Η επιλογή αυτή είναι δικαιολογημένη. Αν, μάλιστα, όπως λέει ο Feynman, πρόκειται για τη γλώσσα του Θεού, υπάρχει και υπερβατική δικαιολόγηση. Ακόμα, όμως, κι αν δεν είναι έτσι, είναι βέβαιο πως η Φύση καταλαβαίνει καλά αυτήν τη γλώσσα. Αποκρίνεται, δηλαδή, στα ερωτήματα που τής τίθενται σε αυτήν τη γλώσσα και απαντάει με τον ίδιο τρόπο.

Τι είναι, όμως, ο απειροστικός λογισμός; Οι παράγωγοι και τα ολοκληρώματα, είναι μια απάντηση.  Και άλλα πολλά, αλλά κυρίως αυτά. Πρόκειται, για να το πω πρόχειρα, για πεπερασμένα αποτελέσματα, που προκύπτουν με την χρήση του Απείρου − και του απειροστού, που σημαίνει του απείρως μικρού. Ο απειροστικός −διαφορικός και ολοκληρωτικός− λογισμός βάζει το Άπειρο να δουλέψει για «ωφέλιμους» σκοπούς, όπως η εύρεση εμβαδών, κλίσεων δρόμων, η πρόγνωση καιρού, η σεισμογραφία, η μελέτη της κίνησης των γαλαξιών,  του Σύμπαντος ως όλου − και άπειρους, κυριολεκτικά, άλλους.

Στην καρδιά του  λογισμού βρίσκεται η αρχή του Απείρου: Για να ρίξουμε φως σε οποιοδήποτε συνεχές σχήμα, αντικείμενο, κίνηση, διαδικασία ή φαινόμενο −ανεξάρτητα από το πόσο δύσκολο και περίπλοκο ενδέχεται να μοιάζει αυτό− το φανταζόμαστε ως μια άπειρη σειρά απλούστερων μερών, αναλύουμε τα μέρη αυτά, και κατόπιν αθροίζουμε τα αποτελέσματα ώστε να κατανοήσουμε το αρχικό όλον.  

Ο Αρχιμήδης ήδη τον 3^ο π.Χ. αιώνα είχε αξιοποιήσει την αρχή του Απείρου, προκειμένου να υπολογίσει το εμβαδόν του κύκλου. Ο κύκλος είναι ένα πολύ ιδιαίτερο σχήμα: αλλάζει χωρίς να αλλάζει. Επιπλέον, εμφανίζεται παντού στη φύση. Ο Αρχιμήδης, λοιπόν, απέδειξε έναν τύπο για το εμβαδόν, αφού διαίρεσε τον κύκλο σε φέτες, όπως κάνουμε όταν κόβουμε την πίτσα. Μόνο που η δική του διαίρεση έτεινε να χωρίσει τον κύκλο σε άπειρες φέτες. Προσθέτοντάς τες, στη συνέχεια, με τον κατάλληλο τρόπο, κατέληξε πως το εμβαδόν του κύκλου δίνεται ως το γινόμενο της ημιπεριφέρειας,  C/2, επί την ακτίνα r. Τα παιδιά του Γυμνασίου ξέρουν ότι ο τύπος του εμβαδού είναι πr², ο τύπος του Αρχιμήδη, δηλαδή, εφόσον C =2πr.

Το πρόβλημα αυτό δεν είναι καθόλου όσο εύκολο φαίνεται. Το σημαντικότερο, όμως, είναι ότι η τεχνική του Αρχιμήδη, της άπειρης διαίρεσης και του άπειρου αθροίσματος, έμελλε να αποδειχτεί το μεγαλύτερο μαθηματικό όπλο τόσο για την θεωρητική έρευνα όσο και για την αναζήτηση μοτίβων και νόμων στη φύση. Επιπλέον, εμφανίστηκε και ο αριθμός π. Ο οποίος όπως φάνηκε από τη μετέπειτα έρευνα εμφανίζεται παντού, σε μέρη που κανείς δεν τον περιμένει. Ο π συνδέεται, επίσης, ισχυρά με το άπειρο. Είναι υπερβατικός αριθμός. Έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία -πράγμα που σημαίνει ότι η γνωστή τιμή του 3.14 περιλαμβάνει μόνο τους δύο πρώτους από αυτήν  την απειρία αριθμών. Μια απειρία αριθμών μέσα στην οποία δεν εμφανίζεται καμιά επανάληψη.

Αιώνες μετά, ο Νεύτων αντικατέστησε τις απειροστές φέτες με άπειρες δυνάμεις ενός συμβόλου x, όπως  x², x³ κ.ο.κ. Στην πραγματικότητα, γενίκευσε την διατύπωση των αριθμών με άπειρα δεκαδικά ψηφία, γράφοντάς τους ως άπειρο άθροισμα δυνάμεων.  Το τέχνασμα λειτουργεί έκτοτε τέλεια και είναι από τις παραδειγματικές στιγμές χρήσης του Απείρου. Ο Νεύτων είναι, μαζί με τον Leibnitz, o θεμελιωτής του απειροστικού λογισμού. Ο Leibnitz, μάλιστα, δεν δείλιασε να θεωρήσει τα διαφορικά ως πραγματικές οντότητες δίνοντας υπόσταση σε αυτά τα διάσημα, ως εικόνες, dx, dψ, dz, dt,… Τα διαφορικά είναι τα μικρότερα τμήματα ενός μεγέθους, χωρίς να είναι μηδέν. Δίπλα και όλο πιο δίπλα στο μηδέν, αλλά όχι «ακριβώς» μηδέν. Απείρως μικρά, όχι μηδέν.

Βέβαια, το Άπειρο είναι άγριο πράγμα. Αν δεν το χρησιμοποιήσεις με προσοχή οδηγεί σε λογικές τερατωδίες. Οι ιδιότητές του, εξάλλου, είναι εντελώς «ιδιοσυγκρασιακές». Μπορείς να προσθέσεις άπειρους αριθμούς και να βρεις πως το άθροισμα είναι 1 ή 4/3 ή π²/6. Ή μπορείς να προσθέσεις άπειρους αριθμούς και να «βρεις» άπειρο.  Υπάρχει, όμως, ολοκληρωμένο άπειρο; Ή θα πρέπει να το θεωρούμε πάντοτε δυνητικό και ποτέ πλήρες;

Από την άλλη, είναι ίδιο το άπειρο των μονών αριθμών, των ζυγών αριθμών και των ακέραιων αριθμών; Μήπως, αφού οι ακέραιοι -1, 2, 3, 4,…- είναι «διπλάσιοι» από τους μονούς -1, 3,…- και από τους ζυγούς -2, 4,…- οι άπειροι ακέραιοι είναι περισσότεροι από τους άπειρους μονούς ή ζυγούς; Η απάντηση είναι όχι. Ο πληθάριθμος των παραπάνω συνόλων είναι ίδιος. Όπως ίδιος είναι και αυτός του συνόλου των ρητών αριθμών, αυτών, δηλαδή, που είναι ακέραιοι και, μαζί, αυτών που είναι κλάσματα ακεραίων.

Θα πει κάποιος, βέβαια, πολύ κακό για το τίποτε. Αφού όλα αυτά τα σύνολα αποτελούνται από άπειρους αριθμούς πώς θα μπορούσε να είναι αλλιώς. Εύλογα το κάθε άπειρο είναι ίδιο με το κάθε άλλο. Όλα τα άπειρα, ως άπειρα, είναι ίσα. Μόνο που δεν είναι έτσι. Ο Κάντορ απέδειξε πως το άπειρο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από τα προηγούμενα. Να, λοιπόν: υπάρχουν άπειρα μεγαλύτερα από άλλα άπειρα!

Κι όμως, ο απειροστικός λογισμός μπόρεσε όχι απλώς να χειριστεί, αλλά να αξιοποιήσει απολύτως παραγωγικά τα άπειρα και τα απειροστά. Ο Strogatz αφηγείται αυτήν τη μεγαλειώδη ιστορία. Παρουσιάζει τις πολλαπλές διαστάσεις των εφαρμογών της, στο σύνολο των επιστημών και των τεχνολογιών. Μας (ξανα)μαθαίνει  μαθηματικά και φυσική πολύ υψηλού επιπέδου με τρόπο εύληπτο, πολύ ευχάριστο και πολύ ερεθιστικό διανοητικά. Όποιος κάνει τον κόπο που απαιτείται έχει πολλά να κερδίσει.

***

Αλήθεια, έχετε σκεφτεί ποιο είναι το αποτέλεσμα της άπειρης πρόσθεσης 1-1+1-1+1-1+….; Κάποιοι θα έλεγαν πως είναι μηδέν, εφόσον (1-1)+(1-1)+(1-1)+… =0+0+0+… =0. Κάποιοι άλλοι, όμως, θα ισχυρίζονταν ότι το αποτέλεσμα είναι ένα, αφού 1-(1-1)-(1-1)-…. = 1-0-0-… =1. Να τι κάνουν τα άπειρα. Και παρ’ όλα αυτά είναι τόσο παραγωγικά!

* Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός

Άποψη της έκθεσης Re(a)Duchamp στην Eleftheria Tseliou Gallery