Κανείς αγεωμέτρητος να μην μπει

Χριστόφορος Κατσαδιώτης, Ηλιοβασιλέματα σε υπονόμους, 2024, οξυγραφία, 33.7 x  42 εκ.

Του Χρήστου Λάσκου*

 

H. COXETER - S. GRAITZER, Γεωμετρία: Μια νέα ματιά, μετάφραση: Γιάννης Παπαδόγγονας, επιστημονική επιμέλεια: Γιώργος Γαβριλόπουλος, εκδόσεις Εφαλτήριο 2024, σελ. 226

 

Το τελευταίο βήμα του λόγου είναι να συλλάβει ότι υπάρχει μια απειρία πραγμάτων που τον υπερβαίνουν

Μπλεζ Πασκάλ

 

“Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω”, έγραφε στην είσοδο της πλατωνικής Ακαδημίας. Που σημαίνει πως κανείς δεν μπορεί να κατανοήσει τη φιλοσοφική συζήτηση χωρίς γνώση της γεωμετρίας. Η είσοδός του, λοιπόν, θα ήταν άσκοπη, χαμένος χρόνος, τόσο για τον ίδιο όσο και για τους υπόλοιπους.
Φαίνεται, λοιπόν, ότι ο Πλάτων θεωρούσε καταστατική για τη φιλοσοφία και για κάθε σοβαρό προβληματισμό την κατοχή της γεωμετρικής διανοητικής σκευής. Σε αυτό ακολουθούσε την εγκαθιδρυμένη παράδοση της ελληνικής φιλοσοφίας.
Η ισχυρή εκδοχή της πλατωνικής ιδέας είναι πως η φιλοσοφία είναι αδύνατη χωρίς τα μαθηματικά. Από τον Παρμενίδη, τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη μέχρι τον Καρτέσιο, τον Λάιμπνιτς, τον Σπινόζα, τον Καντ, τον Χέγκελ ή τον Ράσελ και τον Ουάιτχεντ, μεταξύ πολλών άλλων, η κρίση περί της φιλοσοφικής αναγκαιότητας των μαθηματικών αναμφίβολα δικαιώνεται. Είναι διασκεδαστικό, από αυτήν την άποψη, πόσο πολλοί «σπινοζιστές», πεπεισμένοι για την μοναδικότητα της Υπόστασης και την εμμένεια της κίνησης του κόσμου, προβληματίζονται μπροστά σε γωνίες εντός εκτός και επί τα αυτά.      
Αλήθεια, πόσο είναι δυνατό να κατανοήσουμε την διαχρονική οντολογική συζήτηση, χωρίς να προσφύγουμε καταστατικά στις μαθηματικές –και μόνο μαθηματικές- έννοιες του απείρου ή της σύγχρονης λογικής; Απλώς, δεν γίνεται. Κάποιοι «νέοι» φιλόσοφοι εγκατέλειψαν την  «παραδοσιακή» φιλοσοφική πρακτική και υποστήριξαν την ιδέα μιας εξειδικευμένης (!) φιλοσοφίας, μιας φιλοσοφίας «τούτου ή εκείνου», μιας οντολογίας ειδικών οντοτήτων. Αυτό, όμως, όπως βάσιμα, νομίζω, έχει υποστηρίξει ο Αλαίν Μπαντιού (Εγκώμιο για τα μαθηματικά, εκδόσεις Πατάκη), δεν είναι συνεπής οντολογία.
Η οντολογία ασχολείται με δομές. Αλλά οι δομές είναι υπόθεση των μαθηματικών -της γεωμετρίας, κατεξοχήν.  Ο Λεβι Στρως, προκειμένου να μελετήσει τις «στοιχειώδεις δομές της συγγένειας» ήταν υποχρεωμένος να προσφύγει στην αλγεβρική θεωρία ομάδων.
Δεν πρόκειται, όμως, μόνο για τις δομές στον πληθυντικό. Είναι και η δομή στην ενικό, η δομή του είναι ως είναι. Η σκέψη πάνω στη δομή, η σκέψη πάνω στο είναι προϋποθέτει τα μαθηματικά. Με τα λόγια του Αλαίν Μπαντιού και πάλι, «τα μαθηματικά ενδιαφέρονται, η επικεντρώνουν την προσοχή τους στην πιο τυπική, την πιο αφηρημένη, την πιο καθολικά σχεδόν κενή διάσταση του είναι ως τέτοιου. Είναι εύκολο  να υποστηρίξουμε […] πως ό,τι υπάρχει αποτελεί μια πολλαπλότητα. Έτσι, θα υποστηρίξουμε ότι τα μαθηματικά, ως η γενική θεωρία των διαφόρων μορφών στις οποίες οι πολλαπλότητες αποκτούν μια ορισμένη συνέπεια, συνιστούν μια θεωρία αυτού που είναι, όχι στο βαθμό που είναι τούτο ή εκείνο, αλλά απλά στον βαθμό που είναι». Γιατί τα μαθηματικά  είναι αυτό, ακριβώς: η σχέση της σκέψης με το είναι ως είναι.
Από την άλλη, ο Λουί Αλτουσέρ τεκμηρίωσε το γεγονός πως οι τομές στη φιλοσοφία ερείδονται πάντοτε σε προηγούμενες επιστημονικές επαναστάσεις. Η ελληνική επανάσταση των μαθηματικών ήταν που έκανε δυνατή την ελληνική φιλοσοφία.
Υπάρχει, επιπλέον, και η αισθητική διάσταση. Ο Αριστοτέλης θεωρούσε ότι τα μαθηματικά αφορούν, περισσότερο και από την αλήθεια, το κάλλος. Το δέος μπροστά στο κάλλος, στο υψηλό. Είναι αδύνατο, στο μέτρο που κάποιος το κατανοήσει –και δεν είναι πολύ δύσκολο αυτό-, να μην συγκλονιστεί, με το τόσο ανέλπιστο, τόσο κομψό δώρο προς την όραση, όσο και την νόηση, που αποτελεί η ευθεία του Όιλερ. Για θυμηθείτε: Τα τρία ύψη ενός τριγώνου συντρέχουν σε ένα σημείο Η – ήδη αυτό είναι υπέροχο. Οι τρεις μεσοκάθετοι συντρέχουν, επίσης, σε ένα σημείο Ο – όλο και καλύτερα. Τέλος, οι τρεις διάμεσοι συντρέχουν και αυτές σε ένα τρίτο σημείο G – καταπληκτικό. Και το θαύμα συνεχίζεται: τα σημεία Η, Ο και G βρίσκονται στην ίδια ευθεία!=

Η γεωμετρία έχει ένα ακόμη πολύ σπουδαίο προσόν. Είναι ο καλύτερος, ο πιο ομαλός, τρόπος για να κατανοήσουμε τι συνιστά ένα αξιωματικό σύστημα. Η γεωμετρία παράγει όλες της τις προτάσεις από λίγες αρχικές παραδοχές, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν «αυτονόητες», που αποτελούν, δηλαδή, κοινές πεποιθήσεις. Χαρακτηριστική τέτοια παραδοχή είναι η ακόλουθη:  “Τα πράγματα, που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα, είναι και ίσα μεταξύ τους”. Αν το Α είναι ίσο με το Γ και το Β είναι ίσο με το Γ, τότε το Α είναι ίσο με το Β. Ποια θα είχε την παραμικρή αντίρρηση; (Βέβαια πολλά μπορούν να ειπωθούν -και ειπώθηκαν- σχετικά, αλλά δεν είναι της ώρας). Ο Ευκλείδης, στα Στοιχεία του, παρήγαγε από ελάχιστα αρχικά αξιώματα, περίπου πεντακόσιες προτάσεις -θεωρήματα. Μαθαίνοντάς μας, παραδειγματικά, και τη μέθοδο της παραγωγικής απόδειξης.
Υπάρχει και κάτι άλλο. Τα ίδια τα στοιχειώδη αντικείμενα, από τα οποία συγκροτείται ο γεωμετρικός κόσμος είναι παράξενα. Η εξοικείωση μαζί τους μας εμποδίζει, συχνά, να το αντιληφθούμε. Αλλά για δείτε: τι θα πει ότι το σημείο είναι εντελώς αδιάστατο; Αυτό σημαίνει πως είναι τίποτε. Να, όμως, που άπειρα τέτοια τίποτε συγκροτούν ένα ευθύγραμμο τμήμα. Το οποίο διαθέτει μήκος, αλλά έχει μηδενικό πλάτος. Μ’ όλο, ωστόσο, που το πλάτος είναι μηδενικό, αν βάλεις πολλά (;) ευθύγραμμα τμήματα στη σειρά, μπορείς να έχεις ένα ορθογώνιο.
Και τι να πούμε για το γεγονός ότι τα στοιχειώδη σωμάτια, που συγκροτούν τον φυσικό κόσμο αυτήν την φορά -ηλεκτρόνια, κουάρκ, νετρίνα,…- είναι κι αυτά σημειακά; Ή ότι, όπως έδειξε η γενική θεωρία της σχετικότητας στη φύση όλα είναι γεωμετρία, καταστάσεις, στρεβλώσεις, συμπυκνώσεις, συστροφές του ελαστικού μέσου, που ονομάζουμε χωρόχρονο.
Το βιβλίο, ακόμη μια πολύτιμη προσφορά του Εφαλτήριου, είναι απολαυστικό. Παρουσιάζει μια σειρά καταπληκτικών αποδείξεων για προτάσεις, οι οποίες, συχνά, και μόνο με τη διατύπωσή τους, κάνουν την περιέργεια απόλαυση. Βέβαια, όπως όλα τα καλά, είναι απαιτητικό. Όπως έλεγε κι ο Μαρξ, δεν υπάρχει βασιλική οδός για την επιστήμη.
Το βιβλίο, ωστόσο, προσφέρεται για μαθητές Λυκείου και όσους θυμούνται ή είναι διατεθειμένοι να ξαναθυμηθούν -οι γνώσεις τους είναι αρκετές για μια καταβύθιση στο δέος, που προκαλεί η καθαρή σκέψη. Η περιττή, αυτή που δεν έχει καμιά προφανή «χρησιμότητα».
Έξοχη η μετάφραση του Γιάννη Παπαδόγγονα, σπουδαία τα σχόλια και οι διευκρινίσεις του Γιώργου Γαβριλόπουλου.   

 
*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός