Τίποτε στον κόσμο δεν συμβαίνει τυχαία ή από βλακεία

Από τις φυσικομαθηματικές επιστήμες

Ανδρέας Λόλης, Σύνθεση με 50 μπαμπού σε μάρμαρο California

Του Χρήστου Λάσκου*

REBECCA GOLDSTEIN, Αιχμάλωτος των μαθηματικών – Ο Κουρτ Γκέντελ και το Θεώρημα της μη-πληρότητας, Μετάφραση: Έλενα Πισσία, Εκδόσεις Τραυλός, σελ. 324

Η επιστήμη χωρίς την επιστημολογία είναι πρωτόγονη και ανερμάτιστη

ΑΛΜΠΕΡΤ ΑΪΝΣΤΑΪΝ

Ο Κουρτ Γκέντελ είναι ένα πολύ παρεξηγημένο πρόσωπο. Κυρίως, όμως, είναι ένα πολύ άγνωστο πρόσωπο. Μ’ όλο που το έργο του στην επιστήμη, ιδίως στον τομέα της μαθηματικής λογικής, της οποίας αποτελεί τον αποκλειστικό ιδρυτή, είναι τεράστιας σημασίας, εφάμιλλο αυτού του Αϊνστάιν ή του Χάιζενμπεργκ στους δικούς τους τομείς, λίγο συζητιέται και λίγο απασχολεί.

Είναι και αυτό ένα δείγμα του πόσο «πραγματιστικές» είναι οι αντιλήψεις μας, πόσο λίγο εκτιμούμε την «χρησιμότητα των άχρηστων γνώσεων». Αυτών, που «δεν έχουν άμεσα αποτελέσματα στη ζωή μας», αυτών, που για να πούμε τα πράγματα με το όνομά τους, δεν βρίσκουν το ρόλο τους στην αγορά.

Γιατί, πράγματι, ποια χρησιμότητα -οποιουδήποτε είδους- μπορεί να έχει μια διατύπωση, όπως η παρακάτω: «Σε κάθε τυπικό σύστημα επαρκές για τη θεωρία αριθμών, υπάρχει ένας μη αποφασίσιμος μαθηματικός τύπος - δηλαδή, ένας τύπος που δεν είναι αποδείξιμος και που η άρνησή του είναι επίσης μη αποδείξιμη (Πρώτο θεώρημα του Γκέντελ).

Από το θεώρημα αυτό απορρέει το πόρισμα ότι η συνέπεια ενός τυπικού συστήματος επαρκούς για τη θεωρία αριθμών δεν μπορεί να αποδειχθεί εντός αυτού του συστήματος (Δεύτερο θεώρημα του Γκέντελ)»;

Πράγματι, κανενός είδους «χρησιμότητα» δεν μπορεί να προκύψει από αυτό. Κανένα εμπορεύσιμο αγαθό, καμιά καινοτόμος εφαρμογή δεν φαίνεται να συνδέεται μαζί του. Κι όμως, πρόκειται για πραγματική επανάσταση. Γιατί ένα από τα πράγματα που μας λέει είναι πως ακόμη και τα πιο αυστηρά αξιωματικά συστήματα -όπως αυτό της αριθμητικής- περιέχουν αλήθειες που δεν μπορούν να αποδειχτούν στο εσωτερικό τους. Με άλλα λόγια, ακόμη και τα πιο αυστηρά αξιωματικά μας συστήματα είναι μη πλήρη -τα ίδια τα μαθηματικά, η πληρέστερη των επιστημών, η απολύτως και a priori πλήρης, είναι κι αυτή μη πλήρης. Δεν είναι όλες οι αλήθειες της αποδείξιμες εντός της. Η εμβέλεια της απόδειξης της μη πληρότητας, δε, πηγαίνει πολύ πέρα από την επικράτεια των μαθηματικών, αγγίζοντας πολλά σύνθετα ζητήματα, όπως η φύση της αλήθειας, της γνώσης και της βεβαιότητας. Και, επομένως, μας λέει πολύ σημαντικά πράγματα «για το τι θα μπορούσε ή δεν θα μπορούσε να είναι ο ανθρώπινος νους» (σελ. 20).

Το ίδιο το τεχνικό μέρος της απόδειξης του πρώτου θεωρήματος, δανειζόμενο τη δομή των παραδόξων αυτο-αναφοράς, μας συνδέει με καταστατικά αδιέξοδα της σκέψης, που θέτουν υπό αμφισβήτηση όλη την θετικιστική πρόσληψη της επιστήμης. «Παράδοξα, με τη στενή έννοια του όρου, λέγονται τα αδιέξοδα της σκέψης όπου ο νους εξωθείται από την ίδια την λογική σε αντιφατικά συμπεράσματα. Πολλά απ’ αυτά ανήκουν στην οικογένεια των παραδόξων αυτο-αναφοράς, όπου το πρόβλημα δημιουργείται επειδή κάποιο γλωσσικό στοιχείο -μια περιγραφή, μια πρόταση- αναφέρεται δυνητικά στον εαυτό του. Το αρχαιότερο παράδοξο αυτού του είδους, το «παράδοξο του ψεύτη», που αποδίδεται στους αρχαίους Έλληνες, ξεκινάει με την εξής αυτο-αναφορική πρόταση: «Αυτή η πρόταση είναι ψευδής». Αυτή η πρόταση πρέπει να είναι, όπως όλες οι προτάσεις, είτε αληθής είτε ψευδής. Όμως, αν είναι αληθής, τότε είναι ψευδής, αφού αυτό ακριβώς δηλώνει. Και αν είναι ψευδής, τότε είναι αληθής, αφού, και πάλι, αυτή είναι η σημασία της. Επομένως, πρέπει να είναι συγχρόνως και αληθής και ψευδής. Μπροστά σε αυτό το πρόβλημα, η λογική καταρρέει» (σελ. 45). Νομίζω ότι γίνεται προφανές με τί έχουμε να κάνουμε και με τη βαρύτητά του, υπαρξιακής πραγματικά διάστασης για το νου μας, αλλά και για τον κόσμο. Η Goldstein, μας δίνει, μάλιστα, την ευκαιρία να έρθουμε σε επαφή και με πιο σύγχρονες εκδοχές των παραδόξων αυτο-αναφοράς, όπως είναι τα παράδοξα του Ράσελ σχετικά με τα σύνολα (σελ. 88-90).

Το βιβλίο είναι μια εξαιρετική παρουσίαση ενός καίριου μέρους των επίδικων της φιλοσοφικής συζήτησης του 20ού αιώνα σχετικά με την αντικειμενικότητα, την ορθολογικότητα, την επαληθευσιμότητα, την κατασκευασιοκρατία. Περιγράφει τη σχέση του έργου του Γκέντελ -αλλά και της σχετικότητας του Αϊνστάιν- με το λογικό θετικισμό και τις επιστημολογίες που τον ακολούθησαν. Και αποδομεί πλήρως την ιδέα πως το έργο του Γκέντελ, όπως και του Αϊνστάιν, ενισχύει τις σχετικιστικές μεταμοντερνιστικές επιστημολογίες, που βλέπουν παντού «κατασκευές».

Αντιθέτως, ο Γκέντελ είναι πεπεισμένος για την ύπαρξη του αντικειμενικού «εκεί έξω», προσβάσιμου γνωστικά, κόσμου. Πρόκειται για έναν πλατωνιστή, σύμφωνα με τον οποίο ακόμη και οι αφηρημένες μορφές των μαθηματικών έχουν αντικειμενική υπόσταση, σε ευθεία σύγκρουση με τις υποκειμενιστικές προσεγγίσεις του κόσμου.

Η Goldstein, επιπλέον, συμφωνεί με τον Roger Penrose ότι τα θεωρήματα της μη πληρότητας στηρίζουν την άποψη ότι ο ανθρώπινος νους, ό,τι κι αν είναι, σίγουρα δεν είναι ένας ψηφιακός υπολογιστής, δεν λειτουργεί, δηλαδή, αλγοριθμικά. «Τα συμπεράσματα του Γκέντελ αφήνουν ουσιαστικά άθικτη τη μαθηματική μας γνώση. [Δ]εν καταδεικνύουν τους περιορισμούς του ανθρώπινου νου, αλλά τους περιορισμούς των υπολογιστικών μοντέλων που προσπαθούν να τον εξηγήσουν (μοντέλων που ανάγουν όλες τις νοητικές διεργασίες σε απλή ακολουθία κανόνων)» (σελ. 21). Ο κόσμος υφίσταται αντικειμενικά και ο νους μας, που σίγουρα δεν υπολογιστής, αλλά κάτι πολύ περισσότερο, μπορεί να τον γνωρίσει.

Το βιβλίο αίρει μια σειρά από παρεξηγήσεις, λοιπόν. Σαν αυτές που αφορούν και τον Βιτγκενστάιν. Ο οποίος, όταν έλεγε πως «για όσα δεν μπορούμε να μιλάμε, πρέπει να σιωπούμε» δεν εννοούσε την σιωπή που κρύβει το τίποτα, αλλά, αντίθετα, εκείνη που κρύβει τα πιο σημαντικά.

*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός