Το σχήμα του Σύμπαντος

Από τις φυσικομαθηματικές επιστήμες

Του Χρήστου Λάσκου*

DONAL O’ SHEA, Ο τελευταίος πανεπιστήμονας. Ο Ανρί Πουανκαρέ και η Εικασία του, Μετάφραση: Γιώργος Κυριακόπουλος, εκδόσεις Τραυλός, σελ. 468

Δεν με ενδιαφέρουν τα χρήματα και η δόξα. Δεν θέλω να με επιδεικνύουν, όπως ένα ζώο σε ζωολογικό κήπο…

ΓΚΡΙΓΚΟΡΙ ΠΕΡΕΛΜΑΝ

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν, τα λόγια του οποίου παραθέτω πιο πάνω, είναι ο Ρώσος μαθηματικός, που το 2006 επιβεβαιώθηκε οριστικά πως απέδειξε την «Εικασία του Πουανκαρέ». Τέσσερα χρόνια αργότερα, οι αρμόδιοι της διεθνούς μαθηματικής κοινότητας έκριναν πως, έχοντας επιλύσει ένα από τα επτά άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών, ο Πέρελμαν άξιζε να ανταμειφθεί με το Βραβείο της Χιλιετίας, με έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Όπως είναι φανερό από τα λόγια του, ο Πέρελμαν, ένοικος, μαζί με τη μητέρα του, ενός φτωχικού διαμερίσματος στην Πετρούπολη, μ’ όλο που η οικονομική του κατάσταση κάθε άλλο παρά καλή ήταν, αρνήθηκε το εκατομμύριο. Από μια άποψη, και αυτό κάνει την «Εικασία του Πουανκαρέ» ιδιαίτερη – σαν να μην έπρεπε να μαγαριστεί από οποιαδήποτε πράξη αγοραπωλησίας.

Τι αφορά, όμως, η «Εικασία του Πουανκαρέ»; Πρόκειται για μια υπόθεση, που διατύπωσε το 1904 ο κορυφαίος μαθηματικός –ένας από τους τελευταίους πανεπιστήμονες της Ιστορίας, σύμφωνα με τον O’ Shea– και συνδέεται με το πιθανό σχήμα του Σύμπαντός μας. Η μαθηματική περιοχή στην οποία εντάσσεται είναι η τοπολογία, η μελέτη, δηλαδή, «σχημάτων» από ποιοτική και μόνο άποψη, χωρίς να μας αφορά η μέτρηση αποστάσεων, πράγμα που είναι δουλειά της γεωμετρίας. Όπως το διατυπώνει ο O’ Shea, «[υ]πάρχει μια τρισδιάστατη πολλαπλότητα, η λεγόμενη τρισδιάστατη σφαίρα, που είναι πεπερασμένη, δεν έχει σύνορο και διαθέτει την ιδιότητα κάθε βρόχος [κάθε κλειστή γραμμή, δηλαδή] να μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο. Σύμφωνα με την εικασία του Πουανκαρέ, αυτή είναι η μόνη πεπερασμένη απλά συνεκτική τρισδιάστατη πολλαπλότητα» (σελ. 56). Πρόκειται, προφανώς, για τρομοκρατική διατύπωση. Ας προσπαθήσουμε, όσο είναι δυνατό, να την «εξανθρωπίσουμε», δεδομένου πως αυτό που διακυβεύεται είναι τεράστιας σημασίας.

Δεδομένου πως είναι δύσκολο να έχουμε πραγματική εποπτεία μιας τρισδιάστατης σφαίρας, ας σκεφτούμε την αντίστοιχη δισδιάστατη σφαίρα, που ας την φανταστούμε σαν την επιφάνεια μιας ολοστρόγγυλης μπάλας. Είναι πεπερασμένη στο μέτρο που η ακτίνα της δεν επεκτείνεται στο άπειρο, ενώ δεν έχει σύνορο σημαίνει πως δεν μπορεί να εντοπιστεί κάποια «άκρη» της επιφάνειας. Τέλος, απλά συνεκτική σημαίνει πως κάθε κλειστό «κύκλο» στο εσωτερικό της μπορούμε να τον σμικρύνουμε τόσο, που να συρρικνωθεί σε ένα απλό σημείο.

Ο Πουανκαρέ είκασε, λοιπόν, πως υπάρχει μόνο ένα μαθηματικό αντικείμενο με αυτές τις ιδιότητες, η τρισδιάστατη σφαίρα. Και ο Πέρελμαν απέδειξε αυτήν την υπόθεση. Προκειμένου να συμβεί αυτό απαιτήθηκε μια τεράστια «ποσότητα» μαθηματικών. Ο Donal O’ Shea, ξεκινώντας από την αρχαία Ελλάδα, με επίκεντρο την Αλεξάνδρεια, γράφει την ιστορία αυτών των μαθηματικών, επιμένοντας ιδιαίτερα στο συλλογικό χαρακτήρα της προσπάθειας που τα παρήγαγε. Συλλογικότητα που γίνεται όλο και εντονότερη με το πέρασμα των χρόνων, πράγμα που σημαίνει πως και ο Πέρελμαν, ως μέρος μιας τέτοιας ομαδικής προσπάθειας, ολοκλήρωσε την απόδειξη.

Από την ευκλείδεια γεωμετρία, την ανάλυση, την τοπολογία, τις μη ευκλείδειες και τη διαφορική γεωμετρία, έχουμε μια περιήγηση πολύ απαιτητική, αλλά και πολύ παραγωγική ταυτόχρονα. Με στόχο πάντα να κατανοήσουμε, όσο αυτό είναι δυνατό, πώς μέσω της απόδειξης της εικασίας έχουμε αποκτήσει τη δυνατότητα να ερευνήσουμε σχετικά με το σχήμα του Σύμπαντός μας. Μεγάλο επίτευγμα, αν σκεφτούμε πως δεν έχουμε τρόπο να βγούμε «έξω από το Σύμπαν» –όπως μπορούμε σχετικά με τη Γη– προκειμένου να διαπιστώσουμε ποιο είναι το σχήμα του.

Η θεμελιώδης ιδέα είναι πως, αν οι παρατηρήσεις μας δείξουν πως κάθε κλειστός βρόχος στο χώρο, οσοδήποτε κοντά ή μακριά, μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο, τότε θα είμαστε βέβαιοι πως το σχήμα του είναι η τρισδιάστατη σφαίρα – χωρίς καμία εναλλακτική. Για να το πω αλλιώς, αν το Σύμπαν δεν είναι πολύ μεγάλο, σε σύγκριση με την ηλικία του, και είναι πεπερασμένο, αλλά δεν έχει σύνορο (που σημαίνει πως, όποια διεύθυνση κι αν πάρουμε, σε επαρκή χρόνο θα επιστρέψουμε στο σημείο εκκίνησης), τότε έχουμε τρόπους παρατήρησης, οι οποίοι μπορούν να αποκλείσουν κλειστούς βρόχους, που δεν είναι δυνατό να συρρικνωθούν σε ένα σημείο. Αυτό θα σήμαινε πως το Σύμπαν μας είναι απλά συνεκτικό, που σημαίνει πως προσομοιάζει στην τρισδιάστατη σφαίρα.

Σε διαφορετική περίπτωση, σε ένα επαρκώς μικρό Σύμπαν, που δεν είναι απλά συνεκτικό, έχουμε επίσης τρόπους να συναγάγουμε, με την παρατήρηση συγκεκριμένων κύκλων, το σχήμα του ως ενός ειδικού δωδεκάεδρου χώρου. Οι κύκλοι αυτοί δεν παρατηρήθηκαν, παρ’ όλη την προσπάθεια των αστρονόμων τα τελευταία χρόνια, πράγμα που σημαίνει πως το Σύμπαν είτε είναι πολύ μεγάλο είτε είναι τρισδιάστατη σφαίρα.

Είτε, θα πρόσθετα εγώ, πράγμα που δεν θεωρεί πιθανό ο O’ Shea, οι διαστάσεις του είναι άπειρες, έστω και αν είναι αδύνατο να το συλλάβουμε εποπτικά, γιατί «δεν φτάνει ο νους μας». Σε κάθε περίπτωση, πάντως, μετά τον Πουανκαρέ και τον Πέρελμαν, μπορούμε βάσιμα να διερευνούμε το ζήτημα αυτό.

***

«Καθώς κοιτάζω τον νυχτερινό ουρανό, τα μακρινά άστρα και τους γαλαξίες και τα σμήνη των γαλαξιών, μου φαίνεται ασύλληπτο να μην υπάρχουν άλλα ευφυή όντα εκεί έξω, και μερικά από αυτά θα είναι πολύ διαφορετικά από εμάς. Ύστερα από αιώνες, αν ποτέ αναπτύξουμε τεχνολογίες που θα μας βοηθήσουν να συναντηθούμε και να επικοινωνήσουμε με αυτά τα όντα, θα ανακαλύψουμε ότι θα γνωρίζουν, ή θα θέλουν να γνωρίσουν, πως η μόνη συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα στην οποία κάθε βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα. Να είστε σίγουροι» (σελ. 316).

*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός

Βαλέριος Καλούτσης, Μεταλλαγές, 1973, φωτογραφία, μικρομοτέρ, πλεξιγκλάς σε νοβοπάν,
μολύβι, φωτεινό κουτί, 118 x 73 εκ., από την έκθεση “Reconstruction”
που πραγματοποιήθηκε στη γκαλερί a.antonopoulou.art
σε επιμέλεια του Χριστόφορου Μαρίνου.