Η μαγεία των εξισώσεων

ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

ΝΤΑΝΑ ΜΑΚΕΝΖΙ, Το Σύμπαν δίχως Λέξεις, Μετάφραση: Θεοδώρα Φινοπούλου

εκδ. Ροπή, σελ. 228

SANDER BAIS, Οι εξισώσεις, Μετάφραση: Γιώργος Κατσιλιέρης, εκδ. Κάτοπτρο, σελ. 108

Τον χρόνο μας πρέπει να τον μοιράζουμε ανάμεσα στην πολιτική και τα

μαθηματικά. Για  μένα, ωστόσο, οι εξισώσεις είναι κατά πολύ πιο σημαντικές.

Άλμπερτ Αϊνστάιν

Ο Sander Bais προκαταρκτικά ισχυρίζεται πως αν είναι κάτι θαυμαστό στον κόσμο αυτό δεν είναι η πολυπλοκότητά του, αλλά, ακριβώς αντίθετα, η απλότητα των νόμων που περιγράφουν την πολυπλοκότητα αυτή. Αυτή του η πεποίθηση τον οδήγησε, άλλωστε, να γράψει το βιβλίο του για τις εξισώσεις. Γιατί το βιβλίο του Σύμπαντος είναι γραμμένο σε γλώσσα μαθηματική και οι εξισώσεις είναι τα σημαντικότερα στοιχεία της γραμματικής της –οι πραγματικά ολοκληρωμένες και πλήρεις νοήματος προτάσεις της.

Τόσο ο Μπάις, λοιπόν, όσο και ο Μακένζι επιχειρούν να μας μυήσουν στη σημασία όσο και στην ομορφιά αυτών των καταστατικών, για τον τρόπο με τον οποίο αποκτούμε βαθιά γνώση της Φύσης, μαθηματικών οντοτήτων. Οι εξισώσεις είναι το θέμα τους και μ’ αυτόν τον τρόπο μας οδηγούν σε μυστηριώδεις περιοχές, με ελκυστικό για την φαντασία τρόπο –στην πραγματικότητα με τον μοναδικό τρόπο που αυτό μπορεί να συμβεί.

Το βιβλίο του Μακένζι καλύπτει μια ευρύτατη γκάμα, που ξεκινάει από τα στοιχειώδη μαθηματικά –από τις εξισώσεις 1+1=2 και 1-1=0, που δύσκολα ο αμύητος μπορεί να αντιληφθεί το πλούσιο περιεχόμενό τους- για να φτάσει στα πιο προχωρημένα σύγχρονα θεωρητικά ζητήματα. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο α²+β²=γ², με α, β πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και γ την υποτείνουσα,  μέχρι το θεώρημα του Φερμά, όπου η εξίσωση χ^ν+ψ^ν=ζ^ν δεν έχει ακέραια λύση για το ν, μεγαλύτερη από το 2. Αλλά και το φοβερό π, τα παράδοξα του Ζήνωνα, τον τύπο του Αρχιμήδη για τους μοχλούς, τον αντίστοιχο του Καρντάνο για την επίλυση τριτοβάθμιων εξισώσεων, τους νόμους του Κέπλερ για τις κινήσεις των πλανητών και αυτούς του λογισμού και των πρώτων αριθμών. Από εκεί στη νευτώνεια Φυσική, όπου, μεταξύ άλλων, F=ma και F_B=Gm₁m₂/r² και στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Μάξγουελ, στην οποία ο απειροστικός λογισμός οδηγεί σε συγκλονιστικά συμπεράσματα, που αγγίζουν την ίδια τη φύση του χώρου και του χρόνου. Για να ασχοληθεί, εν συνεχεία, με τους μιγαδικούς, τα τετραδόνια του Χάμιλτον, τις ομάδες, τα ποικίλα άπειρα και τις γεωμετρίες, για τις οποίες οι γωνίες των τριγώνων δεν έχουν άθροισμα ίσο με 180⁰.  Και να μπει στα βαθιά της σχετικότητας, της οποίας όλοι ξέρουμε από τα πόστερς την εξίσωση Ε=mc², και στην κβαντομηχανική, με το φωτόνιο να έχει ενέργεια ίση με E=hf. Για να καταλήξει τελικά στις απλούστατες διαφορικές εξισώσεις του χάους, όπως εφαρμόστηκαν από τον Λόρεντζ και στις λίγο πολυπλοκότερες –αλλά τόσο βλακώδεις, όπως απόδειξε η παρούσα παγκόσμια κρίση- που αφορούν τα χρηματοπιστωτικά παράγωγα και διατυπώθηκαν από τους νομπελίστες πλέον Μπλακ και Σκόουλς.

Στο βιβλίο του Μακένζι, όλα χτίζονται γύρω από τις βασικές εξισώσεις της κάθε περιοχής με τέτοιον τρόπο, που όσοι και όσες κατανοούν την μαγεία αυτών των θεμάτων και είναι αποφασισμένοι να σκύψουν και να ανακαλέσουν κάποιες θεμελιώδεις γνώσεις, από την εποχή που ήταν στο Λύκειο, θα καταφέρουν πολλά και θα το χαρούν, νομίζω, πολύ. Και θα βοηθηθούν, για να συνεχίσουν με την εργασία του Μπάις, που αφορά ειδικά τις εξισώσεις της Φυσικής και μας πηγαίνει βαθύτερα σε ένα πιο περιορισμένο πεδίο. Περιορισμένο; Τρόπος του λέγειν, αν σκεφτούμε πως όλη σχεδόν η Φυσική βρίσκεται στις λίγες σελίδες του: μεταξύ άλλων, πέρα από τα βασικά, η κυματική, η φυσική των σολιτονίων (των μοναχικών κυμάτων, όπως λέμε), η θερμοδυναμική και η κινητική θεωρία των αερίων, η υδροδυναμική, η σχετικότητα και η κβαντική, η χρωμοδυναμική και η θεωρία των χορδών. Το βιβλίο του Μπάις, βέβαια, απευθύνεται, μάλλον, σε αναγνώστες που έχουν παρακολουθήσει τουλάχιστον πανεπιστημιακά μαθήματα φυσικομαθηματικών –η αισθητική απόλαυση, ωστόσο, αφορά όλους τους τύπους ενδιαφερομένων.

***

Στο σημείο αυτό λέω να προσπαθήσω, με όλη τη δυσκολία, να δείξω πώς γίνεται η δουλειά με τις εξισώσεις, όπως την πραγματοποιούν οι δύο συγγραφείς μας.  Επιλέγω, γι’ αυτό, τη Σχετικότητα, δεδομένου πως φέτος η παγκόσμια επιστημονική κοινότητα γιορτάζει τα εκατόχρονα από τη διατύπωση της Γενικής Θεωρίας από τον Αϊνστάιν.

Και ξεκινώ από την Ειδική Θεωρία, η οποία βασίζεται σε δύο αξιώματα: 1^ο . Οι νόμοι της Φυσικής είναι ίδιοι για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές, εκείνους, δηλαδή, που κινούνται με σταθερές μεταξύ τους ταχύτητες. 2^ο . Η ταχύτητα του φωτός είναι ίδια για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές.

Ο Αϊνστάιν, στη βάση των δύο αυτών, καθόλα εύλογων, αποφάνσεων οικοδόμησε την θεωρία του, η οποία κυριολεκτικά κλόνισε την τάξη του κόσμου, όπως ήταν αντιληπτή μέχρι τις αρχές του 20^ου αι. Κυρίως, αντικατέστησε τις μέχρι τότε διακριτές οντότητες του χώρου και του χρόνου με την ενιαία υπόσταση του χωροχρόνου, όπου ο χρόνος εμφανίζεται ως μια τέταρτη διάσταση ενός συνεχούς. Εκεί που είχαμε σημεία προσδιοριζόμενα από τις συντεταγμένες τους (χ,ψ,ζ) στον τρισδιάστατο χώρο, έχουμε πλέον γεγονότα, που απαιτούν τέσσερις αριθμούς (χ,ψ,ζ,t), για να οριστούν. Και έχουμε, για τα θεμελιώδη φαινόμενα, νέες εξισώσεις που περιγράφουν τον κόσμο.

Με επαναστατικότερη όλων, κατά τη γνώμη μου, αυτήν που συνδέεται με την περίφημη διαστολή του χρόνου[1]: t= t_{0 *}(1- υ²/c²)^-½.

Ας δούμε πως την σχολιάζει ο Μπάις, εκκινώντας από το 2^ο αξίωμα, σύμφωνα με το οποίο η ταχύτητα του φωτός είναι ίδια για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές: «Ο τρόπος που βιώνουν τον χωροχρόνο διαφορετικοί [αδρανειακοί] παρατηρητές καθορίζεται πλήρως από την θεωρία του Αϊνστάιν. Το επίθετο «σχετικός» [-από τη «σχετικότητα»-] σημαίνει ότι όλοι οι παρατηρητές δεν αντιλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο όλα τα γεγονότα και την σειρά με την οποία μπορεί να συμβαίνουν […] Μια εντυπωσιακή συνέπεια είναι ότι τα κινούμενα ρολόγια λειτουργούν βραδύτερα, οδηγώντας στο περίφημο «παράδοξο των διδύμων»» (σελ. 66).

Υποθέτουμε, λοιπόν, πως ο ένας από δύο σαραντάχρονους  διδύμους φεύγει για ένα διαστημικό ταξίδι προς τον αστέρα Άλφα του Κενταύρου, που απέχει από τη Γη περίπου 4 έτη φωτός –που σημαίνει πως το φως του χρειάζεται 4 χρόνια για να φτάσει σε μας, ενώ με τη σημερινή μας τεχνολογία θα χρειαζόμασταν 120000 χρόνια, για να φτάσουμε εμείς εκεί. 

Έστω πως η ταχύτητα, με την οποία ταξιδεύει, είναι 99% της ταχύτητας του φωτός (υ=0.99c). Τότε, από την εξίσωση της διαστολής του χρόνου προκύπτει πως, όταν θα επιστρέψει ο δίδυμος που ταξίδεψε στον αστέρα Άλφα, μετά από t_o =8 χρόνια (4 να πάει και 4 να γυρίσει), για τον αδελφό του, που έμεινε στη Γη, θα έχουν περάσει περίπου t =30 χρόνια. Που σημαίνει ότι ο ταξιδευτής θα είναι 48 ετών, ενώ ο δίδυμος αδελφός του 70! Με άλλα λόγια, το ταξίδι «εξοικονόμησε», γι’ αυτόν που το έκανε, 22 ολόκληρα χρόνια[2]. Και το χρονικό «κέρδος» θα ήταν ακόμη μεγαλύτερο αν η ταχύτητα του διαστημοπλοίου του ήταν ακόμη εγγύτερη του φωτός –εκατοντάδες, χιλιάδες, εκατομμύρια, δισεκατομμύρια,… χρόνια.

Θέλω να πω, η εξίσωση αυτή μας δείχνει πως το πέρασμα, η «ροή» η ίδια του χρόνου εξαρτάται από την κινητική κατάσταση του συστήματος. Με άλλα λόγια, ο χρόνος είναι κάθε άλλο παρά «απόλυτη» υπόσταση, σχετικοποιείται ακόμη κι αυτός.  Και δεν εξαρτάται η «ταχύτητα» με την οποία «ρέει» μόνο από την κινητική κατάσταση, αλλά και από τη βαρύτητα. Έτσι, ένας παρατηρητής στον ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας αντιλαμβάνεται τον χρόνο «όπως πάντα», ενώ κάποιος που τον παρατηρεί από απόσταση μετράει τον ίδιο χρόνο ως μια άπειρη αιωνιότητα.

Βάζοντας, όμως, στη συζήτηση τη βαρύτητα ήδη βρισκόμαστε στην περιοχή της Γενικής Σχετικότητας και της θεμελιώδους εξίσωσής της, R_μν -1/2g_μνR +g_μνΛ =8πG_NT_μν.

Η οποία, όπως μας εξηγούν οι Μπάις και Μακένζι, αντιμετωπίζει τον χωροχρόνο ως καμπυλωμένη πολλαπλότητα. Το αριστερό σκέλος της εκφράζει την καμπυλότητα R_μν(x, t) στις διάφορες διευθύνσεις σε κάθε χωροχρονικό σημείο, ενώ το δεξιό την πυκνότητα της ύλης (μάζας και ενέργειας) T_μν(x,t) του χωροχρόνου. Οι δείκτες μ και ν αναφέρονται στις τέσσερις συντεταγμένες του χωροχρόνου και το κάθε ζευγάρι δεικτών (00, 01, 02, 03, 11, 12, 13, 22, 23, 33) αντιστοιχεί σε μια διαφορετική εξίσωση. Έτσι έχουμε δέκα εξισώσεις, οι οποίες συνδέουν τη γεωμετρία του χωροχρόνου με την κατανομή της ύλης και της ακτινοβολίας. Η εικόνα πλέον είναι πως ο χωροχρόνος δεν αποτελεί απλώς έναν μαθηματικό στίβο όπου διεξάγεται η Φυσική, αλλά και ότι ο ίδιος παίρνει μέρος στο παιχνίδι: παραμορφώνεται, στρεβλώνεται, καμπυλώνεται λόγω της ύλης και, επιπλέον, διαμορφώνει την κίνηση της ύλης σε συνάρτηση με την κατάστασή του. Από τη μία, η ύλη καθορίζει πως καμπυλώνεται ο χωροχρόνος και, από την άλλη, η καμπυλότητα του χωροχρόνου λειτουργεί ως βαρυτική δύναμη καθορίζοντας πώς κινούνται τα σωματίδια και το φως.

Η εφαρμογή, μάλιστα, της σχέσης στο σύνολο του Σύμπαντος μας επιτρέπει να αντιληφθούμε την εξέλιξή του. Και τότε, η κοσμολογική σταθερά Λ  εκφράζει την πυκνότητα μιας ειδικής ενέργειας, αυτής του κενού, η οποία έχει πλέον το όνομα σκοτεινή ενέργεια και εξηγεί γιατί το Σύμπαν διαστέλλεται με επιταχυνόμενο ρυθμό!

Τόσες πληροφορίες –κι εκατό φορές περισσότερες- σε μια διατύπωση που δεν πιάνει ούτε μια σειρά. Όπως και νάναι πρόκειται για κάτι πολύ εντυπωσιακό!  

---

[1] Για όσους το έχουν ξεχάσει, θυμίζω πως ο εκθέτης  -½ σημαίνει το αντίστροφο της τετραγωνικής ρίζας της ποσότητας 1- υ²/c²

[2] Σχηματοποιώ λίγο, αλλά, επί του εκπληκτικού, λίγα πράγματα θα άλλαζαν αν ήμουν περισσότερο ακριβής. 

Γιάννης Μιχαηλίδης,Scrap, 2012, ακρυλικό σε χαρτί, 152 x 90 εκ.