23/10/22

Η αιωνιότητα και η ομορφιά

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Του Χρήστου Λάσκου*

WILLIAM DUNHAM, Το μαθηματικό σύμπαν, Μετάφραση: Γιάννης Παπαδόγγονας, εκδόσεις εφαλτήριο, σελ. 384

Η λογική μπορεί να είναι υπομονετική γιατί είναι αιώνια
Όλιβερ Χέβισαϊντ

Το ίδιο ισχύει και για τα μαθηματικά. Παρόλο που δεν καρποφόρησε η προσπάθεια κορυφαίων μαθηματικών να θεμελιώσουν οριστικά τα μαθηματικά στη λογική, ο «αιώνιος» χαρακτήρας είναι κάτι που μοιράζονται εξίσου. Που σημαίνει πως στα μαθηματικά η γνώση προχωρά αθροίζοντας νέα στην παλιά. Ό,τι έχει αποδειχτεί δεν μπορεί να αμφισβητηθεί στη συνέχεια. Και είναι η μοναδική επιστήμη -αυτή, που υπήρξε χρονικά πρώτη από όλες- στην οποία συμβαίνει κάτι τέτοιο. Σε όλες τις υπόλοιπες, κορυφαίες αναιρέσεις συμβαίνουν τακτικά και αλλάζουν δραστικά την πορεία τους. Από τα καλύτερα παραδείγματα, στην περίπτωση της φυσικής, είναι η κβαντομηχανική, που άλλαξε ολοκληρωτικά το κοσμοείδωλο της κλασικής μηχανικής -αυτής, που, στην απλή της εκδοχή, μαθαίνουμε ακόμα στο λύκειο.
Προς τις τελευταίες σελίδες του βιβλίου, ο συγγραφέας μας επισημαίνει πως «όσοι δεν πιστεύουν στους μονόκερους θεωρούν παράλογο να συζητούν για τις διατροφικές τους συνήθειες» (σελ. 341). Η ιστορία των μαθηματικών -όχι, πάντα, οι ίδιοι οι μαθηματικοί- αμφισβητεί έντονα αυτή την διαπίστωση.
Μονόκεροι εμφανίζονται συχνά. Και μ’ όλο που δεν δεχόμαστε, αρχικά τουλάχιστον, πως «υπάρχουν» μελετάμε τις «συνήθειές» τους, τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά τους. Με αυτόν τον τρόπο κινήθηκαν τα μαθηματικά. Από την απόρριψη των αρνητικών αριθμών από τους Έλληνες στην άρνηση των πραγματικών και, από εκεί, στην άρνηση των φανταστικών -μιγαδικών έχουμε μια πορεία φαντασμάτων μέσα στον χρόνο. «Ανύπαρκτων», δηλαδή, οντοτήτων, των οποίων, όμως, τα χαρακτηριστικά, αλλά, συχνά, και οι πρακτικές του εφαρμογές, είναι γνωστά σε βάθος.
Επ’ αυτού, άλλωστε, στήνεται και η μείζων φιλοσοφική συζήτηση αναφορικά με την φύση των μαθηματικών.
Τι είναι τα μαθηματικά; Ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο, το οποίο έχουν κατασκευάσει οι άνθρωποι προκειμένου να μαθαίνουν όλο και περισσότερα πράγματα για τον κόσμο; Ή, μήπως, κάτι, που βρίσκεται «εκεί έξω», σε ένα κόσμο των Ιδεών, για να θυμηθούμε τον Πλάτωνα, και τις οποίες, σιγά σιγά προσεγγίζουμε; Κατά μια γνωστή αντίστιξη, τα μαθηματικά είναι εφεύρεση ή ανακάλυψη; Ενδιαφέροντα θέματα, για όλους και όλες, πιστεύω. Τα οποία, όμως, για να προσεγγιστούν απαιτούν κάποια γνώση των μαθηματικών.
Το βιβλίο, λοιπόν, του Dunham μας προσφέρει μια μοναδική δυνατότητα να μάθουμε ή να ξαναμάθουμε μαθηματικά. Το κάνει, δε, με έναν τρόπο, που επιτρέπει στο βιβλίο του να είναι χρήσιμο στους καλούς αποφοίτους λυκείου, έστω και αν σήμερα είναι δικηγόροι, όσο και στους πτυχιούχους φυσικούς -ακόμα και στους μαθηματικούς. Στα 25 κεφάλαια, ακολουθώντας θέματα με αρχικά το αγγλικό αλφάβητο, μας πιάνει από το χέρι και μας βουτάει βαθιά στον μαθηματικό κόσμο, προσεγγίζοντας πολλές επιμέρους περιοχές: άλγεβρα, γεωμετρία, συνολοθεωρία, αριθμοθεωρία, μιγαδική ανάλυση, τριγωνομετρία, αναλυτική γεωμετρία,… Με αυτήν την έννοια, ο τίτλος του βιβλίου –«Το μαθηματικό σύμπαν»- είναι πραγματικά εύστοχος.
Πολλές φορές, κατά την ανάγνωση, δοκιμάζουμε γνήσια και πολύ ερεθιστική έκπληξη, βρισκόμαστε μπροστά σε κάτι, που μας προκαλεί να το θεωρήσουμε απίστευτο. Βέβαια, όπως λέει ο Μαρξ, δεν υπάρχει βασιλική οδός για την επιστήμη. Αν, όμως, κάνουμε τον, όχι υπερβολικό, κόπο που απαιτείται, θα βρούμε μοναδική ευχαρίστηση.
Δίνω ένα μικρό παράδειγμα, που δεν απαιτεί φορμαλισμό. Οι Ράσελ και Γουάιτχεντ, στην αρχή του 20ού αιώνα επιχείρησαν να θεμελιώσουν τα μαθηματικά στις βασικές και αδιάψευστες έννοιες της λογικής. Ένα κολοσσιαίο, πραγματικά, έργο, αν σκεφτούμε πως χρειάστηκε να φτάσουν στην σελίδα 362, για να μπορέσουν να αποδείξουν πως 1+1 =2! Αφιέρωσαν 10 χρόνια σε αυτήν την προσπάθεια μέχρι να αποφασίσουν να την εγκαταλείψουν.
Σ’ αυτό το διανοητικό πλαίσιο, ο Ράσελ ώθησε τα σύνορα των μαθηματικών σε νέες επικράτειες, δουλεύοντας στα σύνολα, συλλογές, δηλαδή, οντοτήτων όλων των ειδών.
Το ερώτημα που έθεσε ήταν αν είναι δυνατόν ένα σύνολο να περιέχει ως μέλος τον εαυτό του. Το σύνολο των πορτοκαλιών δεν ικανοποιεί αυτήν την συνθήκη, εφόσον δεν είναι το ίδιο πορτοκάλι. Το σύνολο, όμως, όλων των πραγμάτων που δεν είναι πορτοκάλια, προφανώς περιέχει τον εαυτό του, εφόσον δεν είναι πορτοκάλι.
Όλα καλά, λοιπόν; Δυστυχώς όχι. Διότι τα πράγματα στραβώνουν αν θεωρήσουμε το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Άραγε αυτό, ας το ονομάσουμε R, είναι μέλος του εαυτού του ή όχι;
Όσο κι αν φαίνονται αυτά λίγο σανσκριτικά, δεν είναι - μην εγκαταλείψετε την προσπάθεια τώρα. «Ας υποθέσουμε ότι η απάντηση είναι ναι. [Τότε] το R είναι μέλος του R. [Για να είναι, όμως] μέλος θα πρέπει να πληρούσε την ιδιότητα μέλους το οποίο αναφέρεται με πλάγια γράμματα [παραπάνω]: το R δεν είναι μέλος του εαυτού του. Επομένως, αν το R είναι μέλος του R, τότε το R δεν μπορεί να είναι μέλος του R. Αυτό το προφανές άτοπο αποκλείει το ενδεχόμενο η απάντηση στο μοιραίο ερώτημα να είναι «ναι».
Τι γίνεται, όμως, αν η απάντηση είναι «όχι» και το R δεν είναι μέλος του R; Στην περίπτωση αυτή, το R σίγουρα δεν είναι μέλος του εαυτού του και, όπως και το σύνολό μας με τα [πορτοκάλια], πληροί το κριτήριο ιδιότητας για να συμπεριληφθεί στο R. Άρα, αν το R δεν είναι μέλος του R, θα πρέπει αυτομάτως να [είναι] μέλος του R. Και πάλι είμαστε ενώπιον ενός ατόπου» (σελ. 261). Έχουμε μια ερώτηση, στην οποία η απάντηση είναι ούτε «ναι» ούτε «όχι»! Το παράδοξο Ράσελ δοκιμάζει, πραγματικά, τη βασιμότητα της συνολοθεωρίας και, δι’ αυτού, τα ίδια τα θεμέλια της λογικής.
Έδωσα ένα παράδειγμα ανάμεσα σε δεκάδες που αναπτύσσει, με εξαιρετικά εύληπτο τρόπο, ο Dunham. Πρόκειται για μια περιήγηση σε μεγάλο μέρος του μαθηματικού σύμπαντος αξιοποιώντας γνώσεις επιπέδου λυκείου. Επιπλέον, πρόκειται για λογοτεχνικό αριστούργημα.

*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός

Δεν υπάρχουν σχόλια: