Η επανάσταση της Θεωρίας Ομάδων

Νίκος Παπαδόπουλος, Άτιτλο, 2010- 2018, εγκατάσταση

ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

IAN STEWART, Ο Γκαλουά και το κλειδί της συμμετρίας, μετάφραση: Ευθυμία Χασιώτου, εκδόσεις Τραυλός, σελ. 468

                                               -Μπορώ να φωνάξω πνεύματα από τα αβυσσαλέα βάθη.

-Το ίδιο κι εγώ και ο καθένας. Θα έλθουν, όμως;

ΟΥΙΛΙΑΜ ΣΕΞΠΗΡ, Ερρίκος ο Δ’

Η Θεωρία Ομάδων είναι μια από τις σημαντικότερες εξελίξεις στην ιστορία των νεότερων Μαθηματικών[1]. Εκτός αυτού, η ίδια η δική της πορεία ανακάλυψης είναι πραγματικά μυθιστορηματική. Πάθη κι αισθήματα, συνωμοσίες, κοινωνικές και πολιτικές εξεγέρσεις, σκάνδαλα οικονομικά και σεξουαλικά, αδιέξοδοι έρωτες, μονομαχίες, δολοφονίες και εκτελέσεις, αλλόκοτοι πρωταγωνιστές και πρωτοφανείς κακοτυχίες διαμορφώνουν ένα πλαίσιο, το οποία ακόμη και αν ήταν επινοημένο και όχι αληθινό θα θεωρούταν πραγματικά υπερβολικό.

Ενδεικτικό το απόσπασμα σχετικά με τον καθοριστικότατο για την πορεία του κλάδου Τζιρόλαμο Καρντάνο: “«Ο [νεότερος] γιός μου κατηγορήθηκε ότι προσπάθησε να δηλητηριάσει τη γυναίκα του ενώ ήταν ακόμη εξαντλημένη από τον τοκετό. Την 17^η Φεβρουαρίου [1579] συνελήφθη και πενήντα τρεις μέρες αργότερα, στις 13 Απριλίου, αποκεφαλίστηκε στη φυλακή». Ενώ ο Καρντάνο προσπαθούσε ακόμα να συνέλθει από την τραγωδία αυτή, η φρίκη έγινε χειρότερη. «Ένα σπίτι -το δικό μου- έγινε μάρτυρας τριών θανάτων, μέσα σε λίγες μέρες, του γιού μου, της εγγονούλας μου, της Ντιαρεγγίνα, και της παραμάνας του μωρού. Και ο εγγονός μου δεν απείχε πολύ απείχε πολύ από τον θάνατο». Παρόλα αυτά, ο Καρντάνο ήταν αθεράπευτα αισιόδοξος για την ανθρώπινη μοίρα: «Ωστόσο, έχω ακόμη τόσες ευλογίες, που αν τις είχε κάποιος άλλος θα θεωρούσε τον εαυτό του ευτυχή»” (σε. 107).

Ο ίδιος ο Γκαλουά, ο εισηγητής της Θεωρίας Ομάδων θα πεθάνει στα 21 του, μονομαχώντας τη χαραυγή της 13^ης Μαΐου του 1832, για «μια αχάριστη γυναίκα», τη Στεφανί. Εν τω μεταξύ, είχε προλάβει να συμμετάσχει στην εξέγερση των Τριών Ένδοξων Ημερών του Παρισιού, που ανέτρεψε οριστικά τους Βουρβόνους, μετέχοντας στην ακραία επαναστατική πτέρυγα, να φυλακιστεί για απειλή απέναντι στο βασιλιά, να απορριφθεί από την Εκόλ Πολιτεκνίκ λόγω ανάρμοστης στάσης έναντι των «αξιολογητών» του και να αφήσει εξήντα, όλες κι όλες, χειρόγραφες σελίδες, που έφεραν πραγματική επανάσταση στα μαθηματικά. Αντίστοιχες, πολύ διαφορετικές, αλλά εξίσου αλλόκοτες και στοιχειωμένες υπήρξαν οι ζωές πολλών από τους πρωταγωνιστές της ιστορίας, μεταξύ των οποίων του Ταρτάλια και του Άμπελ -πραγματικά απίστευτες. Ένα είδος σατανικής επινόησης κάποιου συγγραφέα, που θα ήθελε να προκαλέσει, δια της πλαγίας, το ενδιαφέρον για τα θέματα της αφηρημένης άλγεβρας ιντριγκάροντας και τρομάζοντας τον αναγνώστη του.

Ας τα πάρουμε, όμως, με τη σειρά. Όλοι γνωρίζουμε τι σημαίνει στα μαθηματικά εξίσωση και τι λύση της. Η δευτεροβάθμια π.χ. εξίσωση, αχ² + βχ + γ = 0, έχει ως λύση έναν αριθμό που υπολογίζεται από τους συντελεστές α, β, γ της εξίσωσης και περιέχει τετραγωνικές ρίζες. Η πρακτική επίλυση ήταν γνωστή ήδη στους Βαβυλώνιους μαθηματικούς, 4000 χρόνια πριν από την εποχή μας. Η λογική της απόδειξη χρειάστηκε πολύ χρόνο κατόπιν και μια πολύ διαφορετική οπτική για την ίδια τη φύση των μαθηματικών, που έπρεπε να περιμένει τους Έλληνες, για να εμφανιστεί.

Η τριτοβάθμια εξίσωση, αυτή δηλαδή που περιέχει χ³, έχει, άραγε, γενική λύση; Η τεταρτοβάθμια; Το πρόβλημα απασχόλησε τους μαθηματικούς για αιώνες μέχρι να υπάρξει καταφατική απάντηση, η οποία έμελλε να δοθεί, με μυθιστορηματικό, όπως προείπα, τρόπο, στην Ιταλία του 16^ου αιώνα.

Κι εκεί το πράγμα «ξανακόλλησε»: η πεμπτοβάθμια εξίσωση (η αχ⁵ + βχ⁴ +…. =0) αντιστέκονταν σθεναρά στην επίλυσή της. Κάποια στιγμή, μετά από πολλές προσπάθειες, έγινε φανερό πως ορισμένες μορφές της δεν ήταν επιλύσιμες με γενικό τύπο του είδους που επιλύει τις χαμηλότερου βαθμού εξισώσεις. Το επόμενο βήμα ήταν η απόδειξη πως αυτό συμβαίνει -το 1821, ο Νιλς Χένρικ Άμπελ απέδειξε πως η επίλυση της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης με αλγεβρικά μέσα είναι αδύνατη. Κανείς, ωστόσο, δεν εξηγούσε ακόμη, γιατί συμβαίνει.

Μέχρι που έφτασαν στα κατάλληλα χέρια οι εξήντα σελίδες του Εβαρίστ Γκαλουά. Σε αυτές διατυπώνονταν μια εντελώς νέα γλώσσα και γινόταν φανερό πως οι επιλύσιμες εξισώσεις και οι λύσεις τους έκρυβαν μια παράξενη συμμετρία. Η πεμπτοβάθμια δεν μπορεί να επιλυθεί, όπως οι άλλες, γιατί έχει τον εσφαλμένο τύπο συμμετρίας. Η γλώσσα, που επινόησε ο Γκαλουά, γνωστή ως Θεωρία Ομάδων, έδωσε τη δυνατότητα να απαντηθεί το μυστήριο της πεμπτοβάθμιας, αλλά έκανε και πολύ περισσότερα από αυτό, όπως πάντοτε συμβαίνει με τα μαθηματικά, όσο αφηρημένα και αν εμφανίζονται.

Σήμερα, η θεωρία αυτή και η κατανόηση της συμμετρίας που επέτρεψε ανοίγει τεράστιες δυνατότητες για όλους τους κλάδους των μαθηματικών, καθώς και για την εξέλιξη της φυσικής. Πολλές από τις αναμενόμενες απαντήσεις σχετικά με τον φυσικό κόσμο είναι βέβαιο ότι θα αξιοποιήσουν -ήδη το κάνουν σε μεγάλο βαθμό- τις «ομάδες». Το Σύμπαν φαίνεται να διατηρεί μια ειδική -προνομιακή- σχέση με τη συμμετρία, δηλαδή με μια κατηγορία μετασχηματισμού που αφήνει αναλλοίωτα τα αντικείμενα στα οποία εφαρμόζεται. Και η συμμετρία δεν θα μπορούσε να γίνει κατανοητή χωρίς τη Θεωρία Ομάδων. Από τα σωματίδια και τους μετασχηματισμούς τους μέχρι την αστρική εξέλιξη και τις γαλαξιακές μεγαδομές, αλλά και τον τρόπο με τον οποίο η σχεδόν θεότυφλη μέλισσα βρίσκει με τον εντοπισμό της εξαγωνικής συμμετρίας τα άνθη ή το ρόλο που έχει η συμμετρία των προσώπων στη σεξουαλική έλξη, από την τρομακτική συμμετρία των θανατηφόρων ιών έως την πιθανή, σε συμμετρικούς λόγους, οφειλόμενη «αριστεροφροσύνη» του Σύμπαντος, αυτή η κατηγορία μετασχηματισμού αποδεικνύεται απολύτως καθοριστική.

Το βιβλίο του Stewart μας δίνει τη δυνατότητα για μια σε βάθος προσέγγιση του ζητήματος της συμμετρίας – σε συνδυασμό, μάλιστα, με το βιβλίο του du Sautoy προσφέρουν την πλήρη κάλυψή του. Νομίζω, όμως, ότι κάνει και κάτι πολύ περισσότερο από αυτό, δι’ αυτού. Σε μια εποχή απόλυτης κατίσχυσης της νεοφιλελεύθερης /καπιταλιστικής χρησιμοθηρίας -κι εμείς «κυβέρνηση αρίστων» έχουμε πια, άλλωστε- είναι ένα εγκώμιο στην τεράστια χρησιμότητα του απολύτως «άχρηστου». Σε μια εποχή όπου όλα τείνουν να συνδέονται με την άμεση «αποτελεσματικότητα», την «αγορά», την «παραγωγή», έστω κι αν οι υποστηρικτές αυτής της στάσης ελάχιστα «αποτελεσματικοί» αποδεικνύονται στους ίδιους τους στόχους που θέτουν, είναι η κοινωνιολογική και πολιτική απόδειξη πως η έρευνα φτάνει σε σπουδαία αποτελέσματα όχι όταν στοχεύει στο «χρήσιμο», αλλά όταν είναι σοβαρή, άρα αναγκαστικά εμμονική και «φευγάτη». Οι «σπίνορες» και τα πάλσαρς ή οι λαιμοί των προϊστορικών καμηλοπαρδάλεων της Χαλκιδικής πριν από δέκα εκατομμύρια χρόνια θα αποδειχτούν πολύ περισσότερο παραγωγικοί από ό,τι τα καινοτομικά (sic) μάνατζμεντ και τα εφαρμοσμένα (!) ναυτιλιακά.

Να πως το θέτει ο συγγραφέας: «Άραγε, έχει τόση σημασία αν δεν μπορείτε να επιλύσετε μια πεμπτοβάθμια εξίσωση με ριζικά; Η ετυμηγορία της ιστορίας στο ερώτημα αυτό είναι ομόφωνη. Ναι, έχει […] Αν ο Γκαλουά και οι προκάτοχοί του δεν είχαν εμμονή […], η ανακάλυψη της Θεωρίας Ομάδων θα είχε καθυστερήσει πολύ και ίσως να μην είχε συμβεί. Πιθανότατα δεν θα βρείτε τέτοιες ομάδες στη κουζίνα σας ή στην εργασία σας, αλλά χωρίς αυτές η σημερινή επιστήμη θα ήταν σοβαρά ακρωτηριασμένη και η ζωή μας πολύ διαφορετική. Δεν είναι μόνο ότι θα μας έλειπαν οι συσκευές καθημερινής χρήσης, ένα σωρό εργαλεία, τα αεριωθούμενα, η κινητή τηλεφωνία και οι δορυφόροι […] Το πιο σημαντικό είναι ότι θα είχαμε ελλιπή γνώση της φύσης» (σελ. 423).

Χωρίς τα «ψώνια» τύπου Γκαλουά η πρακτική καθημερινή μας ζωή θα ήταν πολύ φτωχότερη. Τα καλά, αφηρημένα, πολύ αφηρημένα, μαθηματικά, είναι κατά πολύ πολυτιμότερα από το χρυσάφι.

---

[1] Για μια εξαιρετική και των πιο πρόσφατων προόδων στον τομέα, μέχρι και σήμερα, βλ. Marcus de Sautoy, Θεωρία Ομάδων -ο μαθηματικός, η συμμετρία και το Τέρας, Τραυλός, σελ. 564 (σε μετάφραση Κωνσταντίνου Σίμου)