Η Μαθηματική Σχολή της Μόσχας, το άπειρο και ο Θεός

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

LOREN GRAHAM, JEAN-MISHEL KANTOR, Ονοματίζοντας το άπειρο, Μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, εκδ. Αλεξάνδρεια, σελ. 232

Υπήρχε ένα μονοπάτι που οδηγούσε μέσα από χωράφια στο Νιού Σάουθγκεϊτ, και συχνά πήγαινα εκεί μόνος για να δω τη δύση του ήλιου σκεφτόμενος την αυτοκτονία. Ωστόσο δεν αυτοκτόνησα, επειδή ήθελα να μάθω περισσότερα πράγματα για τα μαθηματικά.  

ΜΠΕΡΤΡΑΝΤ ΡΑΣΕΛ

Αυτοπροσωπογραφία, 1937

Μολύβι σε χαρτί, 35,8 × 26,5 εκ. 

Ο χειρισμός της έννοιας του απείρου υπήρξε, εξ αρχής, από τα σημαντικότερα προβλήματα τόσο στην οντολογία, όσο και στα μαθηματικά. Στο πλαίσιο της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας η διαμάχη σχετικά με το δυνάμει και το ενεργεία άπειρο κρίθηκε γρήγορα υπέρ του πρώτου. Έτσι, ενώ ήταν δεδομένο πως «οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ» -όσο και να τους μετράς πάντοτε υπάρχει επόμενος- η ιδέα ενός «συντελεσμένου» απείρου, ενός π.χ. σύμπαντος με ενεργώς άπειρες διαστάσεις, δεν γινόταν αποδεκτή από τους περισσότερους αρχαίους φιλοσόφους, με προεξάρχοντα τον Αριστοτέλη. Ο κυριότερος λόγος γι’ αυτό, πέρα από τις τεράστιες δυσκολίες εποπτείας, από το γεγονός, δηλαδή, ότι «δεν το χωράει το μυαλό μας», ήταν πως η ιδέα του ενεργεία απείρου οδηγούσε σε μια σειρά από παράδοξα και αντινομίες, μεταξύ των οποίων αυτά του Ζήνωνα είναι τα γνωστότερα. Η αδυναμία να αναιρεθεί η «απόδειξη» πως ο Αχιλλέας –ή ο λαγός, στην πιο γνωστή, από το παραμύθι, εκδοχή- δεν θα προσπερνούσε ποτέ τη χελώνα, αν την άφηνε να προηγηθεί στον αγώνα δρόμου, στοίχειωνε τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία έκτοτε και για δυό χιλιάδες χρόνια.

Το άπειρον, λοιπόν, στην πραγματικότητα σήμαινε για πολύ καιρό αυτό που υπήρξε η πρώτη του έννοια, όπως ορίστηκε από τον Αναξίμανδρο, στο πρώτο ιστορικά κείμενο της ελληνικής φιλοσοφικής παράδοσης. Σήμαινε την πρώτη ουσία, αυτήν από την οποία όλες οι άλλες προέκυψαν. Σήμαινε «μια ουσία χωρίς όρια, μορφή ή ιδιότητες», απροσδιόριστη κι αδύνατο να εκφραστεί με λόγια.  Όπως σημειώνουν οι συγγραφείς (σελ. 30), «[η] ελληνική λέξη «άπειρον» περικλείει τρεις βασικές ιδέες που διατηρήθηκαν και στους επόμενους αιώνες:

-Τον απέραντο χαρακτήρα του χώρου και του χρόνου

-Τον μη ορθολογικό, θρησκευτικό ή μυστικιστικό χαρακτήρα του ατέρμονος

-Την αδυναμία ορισμού και περιγραφής (το άφατο) του απείρου».

Και από αυτήν την άποψη, δεν είναι τυχαίο πως ένας από τους ελάχιστους κορυφαίους φιλοσόφους, που, πηγαίνοντας κόντρα στην παράδοση, αποδέχτηκε την ενεργό πραγματικότητα του απείρου υπήρξε ο Πλωτίνος. Ένας φιλόσοφος, δηλαδή, ο οποίος, στο πλαίσιο του μυστικιστικού περιβάλλοντος της «εποχής της αγωνίας», που αντιπροσώπευε η ύστερη αρχαιότητα, συνέδεσε τη «σκέψη για το άπειρο» με τη «σκέψη για το Θεό» διατυπώνοντας μια αντιστοιχία ανάμεσα στον Θεό, το Εν, και στο άφατο άπειρο. Και «[ι]ισχυρίστηκε ότι αν το Εν δεν είναι άπειρο, τότε θα έπρεπε να υπάρχει κάτι πέρα από αυτό, ιδέα που τη θεωρούσε απαράδεκτη» (σελ. 31).

***

Το Ονοματίζοντας το άπειρο αφηγείται την ιστορία της επίλυσης των πολλών προβλημάτων, γρίφων, παραδόξων και «ασυναρτησιών», που συνδέονται με την έννοια του απείρου επικεντρώνοντας την προσοχή του και αφιερώνοντας τις περισσότερες σελίδες του στη Μαθηματική Σχολή της Μόσχας, η οποία ιδρύθηκε από τους Ντμίτρι Εγκόροφ, Νικολάι Λούζιν και Πάβελ Φλορένσκι. Η Σχολή της Μόσχας, πατώντας πάνω στη σπουδαία εργασία σχετικά με την Θεωρία Συνόλων και την Θεωρία των Υπερπεπερασμένων Αριθμών, που πραγματοποίησε ο Γκέοργκ Κάντορ[1], στις τελευταίες δεκαετίες του 19^ου  αιώνα, παρουσίασε την πιο ολοκληρωμένη επεξεργασία της μαθηματικής Θεωρίας του Απείρου. Οι Εγκόροφ, Λούζιν και Φλορένσκι ξεκίνησαν τη μαθηματική δραστηριότητά τους προεπαναστατικά, η μεγάλη, όμως, ακμή της Σχολής αφορά τις δύο πρώτες δεκαετίες μετά την Ρωσική Επανάσταση. Από την άλλη, ενώ στην αρχή του αιώνα τους εκδήλωσαν ριζοσπαστικές  πολιτικές στάσεις, στη συνέχεια και οι τρεις συνδέθηκαν με μια θρησκευτική αίρεση, που τάραξε τα νερά στις αρχές του 20^ου αιώνα, δημιουργώντας σημαντικά προβλήματα στη Ρωσική Εκκλησία.

Η Λατρεία του Ονόματος προκάλεσε τότε μεγάλα πάθη, ακόμη και την επέμβαση του τσαρικού στρατού, το 1913, στη Μονή του Αγίου Παντελεήμονος του Αγίου Όρους. Η κεντρική ιδέα ήταν πως υπήρχε η δυνατότητα για τον πιστό να έρθει σε άμεση επαφή με τον Θεό επικαλούμενος, μέσω της ειδικής προσευχής του Ιησού Χριστού, το όνομά του. Ονομάζοντας τον Θεό, με την κατάλληλη μέθοδο, μπορούμε και τον «ακουμπάμε». Μέσω της προσευχής φτάνει ο πιστός στην ταύτιση με τον Θεό, στο μέτρο που «ο νους αρχίζει να συντονίζεται με τις λέξεις και ανιχνεύει μέσα σε αυτές την παρουσία του Θεού». Είναι προφανής, μέσα σε αυτά, ο απόηχος τόσο των μυστικιστικών ασκητικών ρευμάτων του 4^ου μεταχριστιανικού αιώνα όσο και του υστεροβυζαντινού ησυχασμού. Η ιδιαιτερότητα της ρωσικής αίρεσης συνίσταται στον κεντρικό ρόλο που αποδίδει, προκειμένου για την ταύτιση με τον Θεό, στον ονοματισμό, στη χρήση του ονόματός Του. Με άλλα λόγια, η ιδαιτερότητα της ονοματολατρικής αίρεσης βρίσκεται στο σύνθημα «Το όνομα του θεού είναι ο Θεός».

***

Η βασική θέση των συγγραφέων του Ονοματίζοντας το άπειρο είναι πως η ένθερμη ένταξη των Εγκόροφ, Λούζιν και Φλορένσκι στη συγκεκριμένη θρησκευτική τάση υπήρξε καθοριστική τόσο για την επιλογή της περιοχής των μαθηματικών, στην οποία θα αφιέρωναν την έρευνά τους, όσο και στη γονιμότητα αυτής τους της επιλογής. Ο λόγος γι’ αυτό βρίσκεται στο γεγονός πως και το, εννοιολογικά τόσο κοντά στο Εν, άφατο άπειρο το χειρίστηκαν μέσω των κατάλληλων ονοματισμών. Με εξαιρετικά, μάλιστα, επιστημονικά αποτελέσματα. Πρώτος ο πατέρας Φλορένσκι διαπίστωσε «μια σχέση ανάμεσα στην ονομασία του «Θεού» και την ονομασία των συνόλων στη συνολοθεωρία: τόσο ο Θεός όσο και τα σύνολα αποκτούν υπόσταση μέσω της ονομασίας τους. Πράγματι, το «σύνολο όλων των συνόλων» θα μπορούσε να είναι ο ίδιος ο Θεός» (σελ. 26). Ανάλογα, ο Λούζιν, ήδη από το 1908, θα εντυπωσιάζονταν από την ανάγνωση των Εννεάδων του Πλωτίνου, όπου θα ανακάλυπτε πως «ο νους διαδραματίζει ενεργό ρόλο στη διαμόρφωση των αντικειμένων που αντιλαμβάνεται και δεν παραμένει απλός αποδέκτης μιας αισθητηριακής εμπειρίας». Βέβαια, «[σ]τη θέαση του Θεού, δεν είναι η λογική μας αυτό που βλέπει, αλλά κάτι πρότερο και ανώτερο της λογικής μας» ( σελ. 101). Αυτό το πρότερο κι ανώτερο είναι που κινητοποιείται μέσω του ονοματισμού και επιτρέπει την ταύτιση με τον Θεό. Ακριβώς ανάλογα, σύμφωνα με τους συγγραφείς, σε όλες τις περιπτώσεις, το να ονοματίζουμε κάτι ισοδυναμεί με το να δημιουργούμε μια νέα οντότητα. Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου στη συνολοθεωρία από τους ονοματολάτρες ρώσους μαθηματικούς υπήρξε καθοριστική στην επίλυση πολλών προβλημάτων.

***

Ας δούμε, όμως, έστω προς το τέλος, τι είδους είναι τα πραγματικά προβλήματα που εμφανίζονται στο πλαίσιο της μαθηματικής διερεύνησης του απείρου[2]. Ξεκινώ με ένα διάσημο «ανέκδοτο» από την απειροθεωρία.

Έστω, λοιπόν, πως υπάρχει ένα διαγαλαξιακό ξενοδοχείο κάπου στο Σύμπαν με άπειρα δωμάτια, αριθμημένα με τη σειρά των φυσικών αριθμών 1,2,…. Έστω, ακόμη, πως τα δωμάτια είναι κατειλημμένα από άπειρους πελάτες. Υπάρχει η δυνατότητα να χωρέσει κάποιος άρτι αφιχθείς δεδομένου ό,τι όλα τα δωμάτια είναι γεμάτα; Η απάντηση, παραδόξως, είναι καταφατική. Αρκεί όλοι οι τακτοποιημένοι πελάτες να μετατοπιστούν κατά έναν αριθμό, ώστε να αφήσουν το δωμάτιο υπ’ αριθμόν 1 στο νέο. Όπως καταφατική είναι η απάντηση ακόμη και στην περίπτωση που έρχονταν άπειροι νέοι πελάτες. Για την τακτοποίησή τους θα αρκούσε οι παλιοί πελάτες να μετατοπιστούν ο καθένας στο δωμάτιο με αριθμό διπλάσιο από αυτόν του αρχικού του δωματίου.

Αυτό που προκύπτει από τα προηγούμενα είναι πως ο πληθάριθμος, ο αριθμός δηλαδή των στοιχείων που περιλαμβάνονται σε ένα σύνολο, είναι ο ίδιος για το απειροσύνολο των φυσικών αριθμών, για το σύνολο των μονών (περιττών) φυσικών, το σύνολο των ζυγών (άρτιων). Και, φεύγοντας από το ανέκδοτο, αυτά είναι αποδεδειγμένα από την εποχή του Κάντορ. Είναι αποδεδειγμένο, δηλαδή, πως οι ζυγοί και οι μονοί, οι οποίοι κατ’ αρχήν φαίνεται να είναι οι μισοί των φυσικών, είναι ακριβώς όσοι και οι φυσικοί. Όπως ίδιος είναι ο αριθμός των ακεραίων. Ακόμη και ο αριθμός των ρητών, παρόλο που ανάμεσα σε δύο ακέραιους, όπως είναι «προφανές», υπάρχουν άπειροι ρητοί, δηλαδή κλασματικοί, αριθμοί.

Σημαίνει αυτό πως όλα τα «άπειρα» είναι ισοδύναμα; Η απάντηση της απειροθεωρίας είναι όχι. Γιατί έχει αποδειχθεί –και πάλι από τον Κάντορ- πως το απειροσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από τα σύνολα στα οποία αναφερθήκαμε προηγούμενα –φυσικοί, περιττοί, άρτιοι, ακέραιοι, ρητοί. Άρα, το άπειρο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από αυτό των ακεραίων. Και, ακόμη, υπάρχουν κι άλλα άπειρα ακόμη μεγαλύτερα. Υπάρχει, για την ακρίβεια, μια ιεραρχία απείρων, μ’ όλο που, στην διαίσθησή μας το άπειρο είναι το «απολύτως μέγιστο».Δεν είναι όλα αυτά στο όριο του μυστικισμού;

---

[1] Εξαιρετική, τόσο ως προς την εμβρίθεια όσο και ως προς την περιεκτικότητα, παρουσίαση της εργασίας του Κάντορ έχουμε στο βιβλίο: William Dunham, Τα μεγάλα θεωρήματα των μαθηματικών, Αλεξάνδρεια, 2013, σελ. 312-360.

[2] Μια από τις καλύτερες εργασίες στα σχετικά ζητήματα, με αναλυτική παρουσίαση των μαθηματικών της Σχολής της Μόσχας, είναι το βιβλίο: Ν. Ya. Vilenkin, Αναζητώντας το άπειρο, Κάτοπτρο, 1997.