Είναι όμορφα τα μαθηματικά;

Του Χρήστου Λάσκου*

 

DAVID STIPP, Μια πολύ κομψή εξίσωση, εκδόσεις Κάτοπτρο, μετάφραση: Πάνος Δεληβοριάς - Κωνσταντίνος Σελεβίστας, σελ. 244

 

Η δυσκολία στη φιλοσοφία είναι να μη λέμε παραπάνω από όσα ξέρουμε

Λούντβιχ Βιτγκενστάιν

 

Η εφαρμογή του αφορισμού του Βιτγκενστάιν είναι εκ των ων ουκ άνευ όρος, για να ασκούμε καλά τη φιλοσοφία. Είναι δύσκολο, ωστόσο, να τον ακολουθήσουμε, στο μέτρο που, σχεδόν ποτέ, δεν είμαστε βέβαιοι για το πόσα ξέρουμε. Θέλω να πω, τα όρια της γνώσης μας, που είναι τα όρια της γλώσσας μας, της φυσικής μας γλώσσας, είναι αρκετά απροσδιόριστα. Αυτό που μπορούμε να κρατήσουμε, επομένως, από τη αφοριστική διατύπωση είναι ένα είδος κανόνα, που επικαλείται την προσοχή μας να μη λέμε, τουλάχιστον, πολύ περισσότερα από όσα ξέρουμε.

Η ακροτελεύτια πρόταση του Tractatus Logico-Philosophicus το κάνει πιο ρητό, ακόμη:

“Για όσα δεν μπορεί να μιλάει κανείς, γι’ αυτά πρέπει να σωπαίνει”.

Καλά για τη φιλοσοφία. Για τα μαθηματικά, όμως; Ισχύει;

Για τα μαθηματικά, λοιπόν, σύμφωνα με τον Στιπ, μάλλον μπορούμε να «ξέρουμε περισσότερα», άρα και να προσεγγίζουμε καλύτερα την αλήθεια, που περιέχουν.

Ο Τζον Κητς πρότεινε, στο πλαίσιο ενός μαθηματικού ρομαντισμού, ίσως, την εξίσωση «ομορφιά = αλήθεια». Ο Στιπ προσυπογράφει και επιχειρεί να αξιοποιήσει αυτή τη διατύπωση, για να ισχυριστεί ότι τα μαθηματικά, όντας όμορφα, είναι και αληθή. Να ισχυριστεί, δηλαδή, πως υπάρχει μια ιδιαζόντως έγκυρη αισθητική «θεμελίωση» των μαθηματικών. 

Τα μαθηματικά εγείρουν την ψυχική ανάταση, το ρίγος συγκίνησης, που γεννούν τα έργα του Μιχαήλ Άγγελου, του Δάντη, του Σαίξπηρ, του Μότσαρτ, του Ουγκό, της Τζέιν Όστεν. Ή του Πλάτωνα, του Σπινόζα, του Μαρξ, του Αϊνστάιν…

Είναι ένας δρόμος κι αυτά, για να έρθουμε σε σχέση με «ό,τι στο πλαίσιο της αισθητικής θεωρίας αποκαλείται “υψηλό”» (σελ. 160). Το οποίο φέρεται να συνδέεται με αισθήματα δέους, όπως όταν βλέπεις τον έναστρο ουρανό ή στέκεσαι μπροστά στους καταρράκτες του Νιαγάρα.  Ο Στιπ παραπέμπει στο σύγχρονο κινέζο φιλόσοφο Σιάνγκ Λαπ Τσιούν, σύμφωνα με τον οποίο το υψηλό “εγείρει την επίγνωση ότι βρισκόμαστε στο κατώφλι από το ανθρώπινο προς ό,τι υπερβαίνει το ανθρώπινο, ότι αγγίζουμε το σύνορο ανάμεσα στο δυνατό και το αδύνατο, στο γνώσιμο και το μη γνώσιμο, στο σημαντικό και στο τυχαίο, στο πεπερασμένο και το άπειρο”.

Ο συγγραφέας, επιπλέον, βασιζόμενος στα ευρήματα της νευροαπεικόνισης, που καταγράφει την εγκεφαλική απόκριση μαθηματικών στη θέαση συγκεκριμένων μαθηματικών εξισώσεων, φτάνει να ισχυριστεί ότι «[η] διαχρονικότητα της ομορφιάς στα μαθηματικά και σε άλλους τομείς βασίζεται, σε ορισμένες περιπτώσεις τουλάχιστον, σε καθολικά χαρακτηριστικά του ανθρώπινου νου. Η ομορφιά μπορεί μεν να εξαρτάται από τον υποκειμενισμό των παρατηρητών, αλλά οι εγκέφαλοί τους […] φαίνεται να αντιδρούν με παρόμοιο τρόπο,  όταν περιεργάζονται έργα, όπως, [π.χ.] ο τύπος του Όιλερ» (σελ. 162).

Ο τύπος, ή η εξίσωση, λοιπόν, του Όιλερ είναι το αντικείμενο, με το οποίο ασχολείται το βιβλίο. Ένα μαθηματικό αντικείμενο, το οποίο πείθει, κατά τη γνώμη του Στιπ, για το γεγονός πως τα μαθηματικά εμπεριέχουν γνήσια ομορφιά.

Να ποιος είναι ο τύπος του Όιλερ: e^iπ +1 = 0

Υπάρχει, πραγματικά, κάτι όμορφο σε αυτόν; Για τους καλούς μαθητές του Λυκείου, νομίζω, πως η απάντηση είναι ανεπιφύλακτα καταφατική.

Πρόκειται για μια εκπληκτική εξίσωση. Συνδέει τις πέντε σημαντικότερες -και «άσχετες», καταρχήν, μεταξύ τους- οντότητες των μαθηματικών, με έναν τόσο απλό τρόπο, που δεν χρειάζεται παρά ένα γινόμενο, μια δύναμη, μια πρόσθεση και το σύμβολο του ίσον, για να εκφραστεί.

Το 1 είναι ο φυσικός αριθμός, από τον οποίο προκύπτουν όλοι οι υπόλοιποι προσθέτοντας, απλώς, τον ίδιο στον προηγούμενο. Το 2 είναι το 1, αφού προστεθεί το 1, το 3 είναι το 2, αφού προστεθεί το 1, κ.ο.κ. Επιπλέον, το 1 είναι ο αριθμός, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε άλλον, τον αφήνει αμετάβλητο.

Το 0, αντίστοιχα, αφήνει ανέγγιχτους τους αριθμούς, στους οποίους προστίθεται, ενώ «ρουφάει» στην εκμηδένιση αυτούς που πολλαπλασιάζει.

Το e είναι ένας παράξενος υπερβατικός αριθμός, που σημαίνει πως έχει δεκαδικό μέρος με άπειρα ψηφία, των οποίων η σειρά ποτέ δεν επαναλαμβάνεται με τον ίδιο τρόπο. Μια περιορισμένη έκφρασή του είναι η e = 2.71828182846…, με τις τρεις τελείες να δηλώνουν πως εμπερικλείει το άπειρο. Το παράδοξο είναι πως ένας τόσο «κοινός», σε πρώτη ματιά, αριθμός εμφανίζεται παντού στη φύση − κυριολεκτικά, παντού. Αν κάποιος αριθμός θα μπορούσε να χαρακτηριστεί «του Θεού», αυτός είναι ο e.

Το π είναι το γνωστό, σε όλους μας, 3.14…, που εμφανίζεται σε όλες τις μετρήσεις, που αφορούν κύκλους. «Εκ κατασκευής», λοιπόν, είναι ένας αριθμός, που αφορά τη γεωμετρία. Ωστόσο, αν και αυτό ισχύει, εν τέλει, εμφανίζεται συνεχώς εκεί, που δεν τον σπέρνουν. Να μια από τις απίστευτα πολλές περιπτώσεις: 1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +… = π/4. Και μια άλλη: 1/1² +1/2² +1/3² +1/4² + … = π² /6.

Προσέξτε ότι στο αριστερό μέλος των εξισώσεων εμφανίζονται πάντοτε απλοί φυσικοί αριθμοί -1,2,3,…- και στο δεξιό, από το πουθενά, κυριολεκτικά, εμφανίζεται ο π. Ο οποίος είναι κι αυτός υπερβατικός, που σημαίνει πως περιέχει, βαθιά στη φύση του, το άπειρο.

Τέλος, το i  παίζει το ρόλο, που έχει το 1 στους πραγματικούς αριθμούς, αλλά στους φανταστικούς αριθμούς αυτό. To i είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού -1, που «κανονικά» απαγορεύεται: πώς είναι δυνατό, πολλαπλασιάζοντας ένα αριθμό με τον εαυτό του, να δίνει αρνητικό αποτέλεσμα; Στα σχολικά μαθηματικά μιλάμε για αδύνατο.

Ο τύπος του Όιλερ, λοιπόν, συνδέει θεμελιωδώς το πεπερασμένο και το άπειρο, «το μηδέν και το άπειρο», τη μονάδα και το «τίποτε», το πραγματικό και το φανταστικό, το εύλογο και το αδύνατο, ως υπαρκτή οντότητα, το υπερβατικό και το πλήρες.

Ο Στιπ, εξιστορώντας και «παράγοντας» την εξίσωση, βήμα βήμα, μας αποκαλύπτει την αληθινή της ομορφιά. Κι αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν τα μαθηματικά είναι αντικειμενικά, δηλαδή, βρίσκονται «εκεί έξω» ή αν είναι πολιτιστικό κατασκεύασμα, που δεν έχει ανεξάρτητη ύπαρξη εκτός του ανθρώπινου νου.

Τα μαθηματικά είναι όμορφα και, όλα δείχνουν, πως συνδέονται με την εξελικτική μας ιστορία. Φαίνεται, μάλιστα, ότι η ικανότητά μας σε αυτά αναπτύχθηκε πριν από τα γλωσσικά κέντρα, που είναι, σύμφωνα με τις νευροεπιστήμες, πολύ πιο πρόσφατα.  

Είναι, λοιπόν, πολύ αρχέγονα. Ίσως, αυτό να εξηγεί και το γιατί είναι τόσο υποβλητικά.

 

* Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός