Παράξενες παράγωγοι, παράξενα ολοκληρώματα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Αλέκος Κυραρινης, «Ἐπὶ τύμβῳ» 2023, μεικτή τεχνική σε χαρτόνι, 70 x 100 εκ.

Του Χρήστου Λάσκου*

 

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΔΑΣΙΟΣ, Κλασματικός Λογισμός, επιστημονική επιμέλεια: Νικόλαος Κόλλας, Εκδόσεις Ανοιχτού Πανεπιστημίου, σελ. 346

 

Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε, του οποίου η σημασία να μην συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου

Λέοναρντ Όιλερ

Ο απειροστικός λογισμός είναι εκείνος ο κλάδος των μαθηματικών, που κατεξοχήν ασχολείται με την αναζήτηση ακροτάτων, δηλαδή μεγίστων και ελαχίστων. Βάσει του αφορισμού του Όιλερ, επομένως, είναι ο κλάδος, που ασχολείται με όλα όσα έχουν σημασία στον κόσμο. Πράγμα που σημαίνει ότι, ο κόσμος, λειτουργώντας μεταξύ μεγίστων και ελαχίστων, υποστασιοποιείται σε μια μορφή που «βγάζει νόημα».
Είναι εύκολο να καταλάβουμε, νομίζω, το οντολογικό και γνωσιολογικό βάρος μια τέτοιας απόφανσης. Μέγιστη και ελάχιστη θερμοκρασία, μέγιστη και ελάχιστη ενέργεια, μέγιστος και ελάχιστος χρόνος μιας διαδικασίας, μέγιστο κι ελάχιστο κόστος ενός είδους παραγωγής… Η εύρεση τους, αυτών και αναρίθμητων άλλων μεγεθών, δίνει μια δυνατότητα ορθολογικής και ακριβούς αντιμετώπισης του κόσμου, του μικρού του μέγα.
Ξεκινώντας από το κατώφλι του χρόνου  και του μήκους Πλανκ, των ελάχιστων θεμελιωδών μεγεθών κάτω από τα οποία η Φυσική μας δεν φαίνεται να λειτουργεί και φτάνοντας στην κλίμακα του όλου Σύμπαντος, οι παράγωγοι και τα ολοκληρώματα, οι καταστατικές έννοιες του απειροστικού λογισμού, μας δίνουν την πιο σαφή και ακριβή εικόνα του κόσμου, που μπορούμε να έχουμε. Λογισμός απειροστικός, που σημαίνει λογισμός που κάνει χρήση απειροστών, απείρως μικρών ποσοτήτων, δηλαδή. Προσοχή! Όχι πολύ μικρών, αλλά απείρως μικρών. Που μικρότερων δεν γίνεται.
Συνεχίζω, ζητώντας να μου συγχωρεθούν οι ανακρίβειες που θα ακολουθήσουν. Δεν βρίσκω τρόπο να είμαι πιο ακριβής. Η παράγωγος, λοιπόν, είναι ένας λόγος, που ορίζει έναν ρυθμό μεταβολής, πόσο, δηλαδή αλλάζει ένα μέγεθος αποκρινόμενο στην αλλαγή ενός άλλου, του οποίου συνάρτηση είναι το πρώτο. Η ταχύτητα, για παράδειγμα, είναι παράγωγος. Δείχνει πόσο μετατοπίζεται ένα σώμα, όταν ο χρόνος μεταβάλλεται κατά μία μονάδα. Αντίστοιχα, η επιτάχυνση είναι παράγωγος. Δείχνει πόσο μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός σώματος στη μονάδα του χρόνου.
Αν προσέξουμε λίγο τους παραπάνω «ορισμούς», καταλαβαίνουμε πως η επιτάχυνση, όντας η παράγωγος της ταχύτητας, η οποία είναι η παράγωγος της μετατόπισης, στην  πραγματικότητα είναι η παράγωγος μιας παραγώγου, δηλαδή μια δεύτερη παράγωγος. Αντιστοιχεί στη μεταβολή μιας μεταβολής, άρα σε μια μεταβολή δεύτερης τάξης. Στο μέτρο τώρα, που τα εμπλεκόμενα μεγέθη είναι «απειροστά», δηλαδή απείρως μικρά, η παράγωγος είναι το όριο της μεταβολής του ενός, όταν η μεταβολή του άλλου τείνει στο μηδέν − αυτό είναι το απειροστό, αυτό που τείνει στο μηδέν.
Αντίστοιχα, το ολοκλήρωμα είναι ένα άθροισμα απειροστών, ποσοτήτων, δηλαδή απείρως μικρών. Σκεφτείτε την περίπτωση του εμβαδού. Το σπίτι σας, έστω, ότι έχει εμβαδό 80 τετραγωνικά μέτρα. Η μέτρησή του, συνήθως, είναι εύκολη στο μέτρο που αποτελείται από απλά σχήματα − τετράγωνα, παραλληλόγραμμα… Γενικά, η εύρεση εμβαδών «κανονικών» σχημάτων, όπως τα προηγούμενα, αλλά και τριγώνων, κύκλων, ελλείψεων κ.λπ. είναι ευκολότατη με την χρήση της σχολικής γεωμετρίας. Τι γίνεται, όμως, αν θέλετε να βρείτε, με τη μέγιστη ακρίβεια, το εμβαδόν ενός «μη -κανονικού» σχήματος. Ο απειροστικός λογισμός το κάνει απλά με τη χρήση του ολοκληρώματος, του αθροίσματος, για να το πω και πάλι χοντρικά, των απειροστών, στα οποία μπορούμε να διασπάσουμε το αρχικό σχήμα. Προσθέτοντας, με ειδικές τεχνικές, τα απείρως μικρά τμήματα του προς μέτρηση σχήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του.  
Ένα πραγματικά καταπληκτικό βιβλίο, προκειμένου να καταλάβουμε τον απειροστικό λογισμό, είναι αυτό του μεγάλου σοβιετικού μαθηματικού V. M. Tikhomirov, Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα, από τις εκδόσεις Κάτοπτρο. Μαθηματικό προαπαιτούμενο για  την αναγνώστρια, είναι η καλή γνώση της ύλης του Λυκείου. Πράγμα, που δεν ισχύει καθόλου για το βιβλίο του Γ. Δάσιου. Οι απαιτήσεις εδώ είναι πολύ μεγαλύτερες.
Ας δούμε, όμως, πρώτα, περί τίνος πρόκειται. Είπαμε προηγουμένως, πως η επιτάχυνση είναι η 1^ης τάξης παράγωγος της ταχύτητας. Επειδή, όμως, και η ταχύτητα είναι παράγωγος της μετατόπισης, έπεται πως η επιτάχυνση είναι η 1^ης τάξης παράγωγος μιας παραγώγου 1^ης τάξης, συνεπώς, συνιστά μιας παράγωγο παραγώγου, δηλαδή μια παράγωγο 2^ης τάξης. Ομοίως, μπορούμε να επεκταθούμε σε παραγώγους 3^ης, 4^ης,…, ν-ιοστής τάξης.
Το ερώτημα, που έρχεται να απαντήσει ο κλασματικός λογισμός είναι, με τα λόγια του L’ Hospital, «ποιο είναι το αποτέλεσμα αυτής της έννοιας όταν το ν είναι, για παράδειγμα 1/2;». Ο Leibniz το έθεσε, ως εξής: «Αυτό είναι προφανές παράδοξο, από το οποίο κάποια μέρα θα αντληθούν χρήσιμα συμπεράσματα, γιατί είναι δύσκολο να υπάρχει ένα παράδοξο χωρίς χρησιμότητα».
Το βιβλίο του Δάσιου είναι μια τεράστια συνεισφορά στην ελληνική μαθηματική βιβλιογραφία. Στην πραγματικότητα, είναι το πρώτο σχετικό βιβλίο στην ελληνική γλώσσα. Εξαιρετικά καλογραμμένο και επιμελημένο δίνει τη δυνατότητα σε όλους τους ενδιαφερόμενους να προσεγγίσουν σε βάθος το θέμα της κλασματικής παραγώγισης και ολοκλήρωσης και τις εφαρμογές της -για ζητήματα που ο κλασσικός λογισμός δεν μπορεί να αντιμετωπίσει- στη Φυσική, αλλά και στη Φαρμακολογία ή την γνωστική Ψυχολογία ακόμη. Στο σημείο αυτό πρέπει να πω πως ο προσδιορισμός κλασματικός είναι παραπειστικός, στο μέτρο που το ν μπορεί να πάρει όλες τις πιθανές μορφές. Μπορεί να είναι άρρητος αριθμός, υπερβατικός, όπως το γνωστό π, ακόμη και μιγαδικός, υβριδικός, δηλαδή ενός πραγματικού κι ενός φανταστικού!
Είναι προφανές, από τα τελευταία, πως το βιβλίο δεν απευθύνεται στο, οσοσδήποτε περιορισμένο, γενικό κοινό. Αφορά όσες έχουν μαθηματικές γνώσεις προπτυχιακού επιπέδου των φυσικομαθηματικών σχολών. Γιατί τότε επέλεξα να γράψω γι’ αυτό σε μια τακτική στήλη, που ασχολείται με αυτό που θεωρώ καλό να ονομάζεται «δημόσια επιστήμη», μια και το εκλαΐκευση, νομίζω, το αδικεί; Ο λόγος είναι πως το βιβλίο είναι ένα πραγματικό δώρο για τη φυσικομαθηματική κοινότητα. Η κοινοποίηση της ύπαρξής του είναι το λιγότερο, που μπορώ να κάνω.
*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός