Η επίλυση προβλήματος ως «εφαρμογή»

Άποψη της έκθεσης «Το εργαστήριο του γλύπτη» στο MOMus- Μουσείο Άλεξ Μυλωνά, φωτ. Σπύρος Κατωπόδης

Ψευδο-αντικειμενοποίηση εικόνων και εργαλειοποίηση μαθηματικών κειμένων στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση

Των Γιάννη-Παναγιώτη Βούλγαρη* και Τάσου Πατρώνη**

Στο πλαίσιο του νεοφιλελεύθερου ιδεολογήματος της σύνδεσης της εκπαίδευσης με την αγορά εργασίας αναπτύσσεται και εμπεδώνεται, θεσμικά και κοινωνικά, η αντίληψη ότι στο επίκεντρο της εκπαιδευτικής διαδικασίας, στη μαθηματική εκπαίδευση και όχι μόνο, είναι –και πρέπει να είναι– οι (ψευδο-)έννοιες της “μέτρησης” (ή του “μετρήσιμου”) και της “εφαρμογής”.

Θα επιχειρήσουμε να δείξουμε πρώτα ότι, μέσα από την ανάλυση του γενικού τρόπου αντιμετώπισης ορισμένων κατηγοριών ασκήσεων γεωμετρίας, οι οποίες εμφανίζονται ιδίως στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, το ιδεολόγημα της “μέτρησης” και της “εφαρμογής” αποδεικνύεται διδακτικά και ερμηνευτικά ανεπαρκές, όσον αφορά την προσέγγιση του μαθηματικού κειμένου. Στη συνέχεια, αφού δείξουμε πώς το ιδεολόγημα αυτό συνδέεται με μια ευρύτερη παθολογία της Ύστερης Νεωτερικότητας, θα αναλύσουμε τον τρόπο αυθόρμητης αντιμετώπισης, εκ μέρους των μαθητών δύο διαφορετικών λυκείων, ενός προβλήματος σκόπιμα διαμορφωμένου από εμάς, όπου διαφαίνεται και μια εναλλακτική προοπτική.

1. Μέτρηση, εφαρμογή και χρησιμότητα ως εκφάνσεις της κυρίαρχης ιδεολογίας στην πρόσληψη της σχολικής γεωμετρίας και άλγεβρας

Ξεκινάμε με τις, καθόλου τυχαία παραμελημένες στα σχολικά εγχειρίδια, κατασκευαστικές ασκήσεις. Οι μαθητές αντιμετωπίζουν πολύ σοβαρά προβλήματα στην αντιμετώπιση τέτοιων ασκήσεων, επειδή σε αυτές ακριβώς τις ασκήσεις αναδύεται με αδιαπραγμάτευτο τρόπο το αδιέξοδο του μονοδιάστατου τρόπου ανάγνωσης του μαθηματικού κειμένου, τον οποίο επιβάλει υπόρρητα το ιδεολόγημα της “μέτρησης” και της “εφαρμογής”: η λύση της άσκησης αντιμετωπίζεται ως συνταγή, η οποία πρέπει να «ανακαλυφθεί» εκ των υστέρων και χωρίς πολλή συζήτηση από τους μαθητές.

Η φράση «φέρουμε την διαγώνιο του παραλληλογράμμου», ως μέρος της επίλυσης μιας άσκησης, αντιμετωπίζεται σαν ένα βήμα διεκπεραίωσης της συνταγής, την οποία ο διδάσκων παρουσιάζει ως masterchef σε σεμινάριο μαγειρικής για αρχάριους. Το ερώτημα, «γιατί φέρουμε την διαγώνιο του παραλληλογράμμου;», θεωρείται άκυρο: έτσι ολοκληρώνεται η «συνταγή», έτσι «βγαίνει» η άσκηση. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι, αν αυτός ήταν ο μοναδικός τρόπος να λυθεί η άσκηση, και παρουσιαζόταν χωρίς να δοθεί απάντηση στο ερώτημα «γιατί φέρουμε την διαγώνιο του παραλληλογράμμου;», τότε η ανάγκη δικαιολόγησης του βήματος «φέρω τη διαγώνιο» θα μπορούσε να συνειδητοποιηθεί από τους μαθητές μόνο δια αποκαλύψεως, «διαισθητικά». Η απάντηση που λαμβάνουμε συνήθως είναι η εξής: Συνήθως δεν υπάρχει μόνο ένας τρόπος να λυθεί μια άσκηση, και ο μαθητής μπορεί να μάθει να λύνει τις διάφορες κατηγορίες ασκήσεων μέσω μιας διαδικασίας δοκιμής και λάθους [trial and error]∙ με αυτόν τον τρόπο, όλα είναι ζήτημα «εξάσκησης», και δεν υπάρχει κάποιο ζήτημα μεταφυσικής πρόσληψης των επιμέρους βημάτων επίλυσης.

Ακόμη κι αν παραβλέψουμε το γεγονός ότι η «εξάσκηση» δεν εξαλείφει καθόλου την «επιφοίτηση» (ως προϋπόθεση της επίλυσης των επιμέρους ασκήσεων), και τα γνωστά μαθησιακά αποτελέσματα που προκαλεί αυτός ο τρόπος διδασκαλίας των Μαθηματικών, ακόμη κι αν αποδεχθούμε πλήρως την σε ακραίο βαθμό εμπειριστική διαδικασία δοκιμής και λάθους ως βάση της συνολικής εκπαιδευτικής διαδικασίας, υπάρχει ένα δομικό πρόβλημα το οποίο παραμένει. Το γεγονός ότι η λύση κάθε άσκησης μπορεί να αλγοριθμοποιηθεί εκ των υστέρων δεν σημαίνει ότι είναι φύσει αλγοριθμική, δηλαδή αλγοριθμική ως προς τον τρόπο σύλληψής και παραγωγής της. Σε αυτό το σημείο αναδεικνύεται ουσιωδώς ο κειμενικός χαρακτήρας των Μαθηματικών: το κείμενο απαιτεί ερμηνεία από υποκείμενα-αναγνώστες, και όχι αυτοματοποιημένη εκτέλεση από έμπειρους τεχνίτες.

Ο Ludwig Wittgenstein γράφει στο Tractatus Logico-Philosophicus: «Κανένα μέρος της εμπειρίας μας δεν είναι και a priori. Όλα όσα βλέπουμε θα μπορούσαν να είναι και διαφορετικά. Όλα όσα γενικά μπορούμε να περιγράψουμε θα μπορούσαν να είναι διαφορετικά. Δεν υπάρχει καμμία τάξη a priori στα πράγματα».[1] Και συνεχίζει παρακάτω: «Ολόκληρη η σύγχρονη κοσμοθεωρία βασίζεται στην πλάνη πως οι λεγόμενοι φυσικοί νόμοι αποτελούν τις εξηγήσεις των φυσικών φαινομένων». Με αυτό τον τρόπο, «οι άνθρωποι σταματούν μπροστά στους φυσικούς νόμους σαν μπροστά σε κάτι απαραβίαστο, όπως οι παλαιότεροι μπροστά στο Θεό και στη Μοίρα. Και οι δύο έχουν πραγματικά και δίκιο και άδικο. Οι παλαιοί μια φορά είναι σαφέστεροι στο βαθμό που με σαφήνεια αναγνωρίζουν ένα τέρμα, ενώ στο νέο σύστημα είναι σα να φαίνεται πως όλα έχουν εξηγηθεί».[2]

Η ενσωμάτωση, στην κυρίαρχη ιδεολογία, της αντίληψης πως όλα έχουν (ήδη) εξηγηθεί με βάση τους φυσικούς νόμους, διατυπωμένους σε τυπική μαθηματική γλώσσα, παραμορφώνει και στρέφει ενάντια στον εαυτό τους δύο από τις πιο γνωστές προτάσεις του Wittgenstein στο Tractatus: (α) «Οι προτάσεις της λογικής είναι ταυτολογίες», (β) «Οι προτάσεις της λογικής, λοιπόν, δεν λένε τίποτα».[3] Αν οι προτάσεις της λογικής, άρα εν πολλοίς και οι τυπικές αποδείξεις των μαθηματικών, δεν λένε τίποτα επειδή είναι ταυτολογίες ενός σύμπαντος εννοιών που έχει ήδη εξηγήσει καθολικά την πραγματικότητα, τότε για ποιο λόγο να θέλει ένας μαθητής να τις διδαχθεί; Ο μαθητής δεν μπορεί να καταλάβει συνήθως για ποιον λόγο, προς τί διδάσκεται μαθηματικά. Αυτό το «προς τί;» θα μπορούσε να σημαίνει είτε «για ποιον λόγο (αιτία);» είτε «για την δημιουργία ποιου αποτελέσματος;». Θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι, αντί η απάντηση στο ερώτημα «προς τί;» να είναι η αναζήτηση μιας αιτίας, και συγκεκριμένα του λόγου για τον οποίο τα μαθηματικά είναι μια δραστηριότητα που έχει νόημα καθεαυτή, η ιδεολογία της εφαρμογής ωθεί τους μαθητές στο να προσπαθούν να απαντήσουν σε αυτό το ερώτημα ψάχνοντας ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα, μια «εφαρμογή» των μαθηματικών που διδάσκονται.

Στην παραπάνω μεταφορική χρήση της μαγειρικής, επικεντρωθήκαμε στην (ψευδο-) έννοια της «εφαρμογής», και στον τρόπο που αυτή αντιστοιχεί τα κάθε λογής μαθηματικά εργαλεία (θεωρήματα, προτάσεις, αποδεικτικές τεχνικές κ.ά.) και τη συνολική μαθηματική γνώση που θεωρείται γνωστή τη στιγμή που ένας μαθητής καλείται να λύσει μια άσκηση, σαν τα υλικά και τα εργαλεία της μαγειρικής. Μας μένει να εξετάσουμε αναλυτικότερα την (ψευδο-)έννοια της «μέτρησης». Στρέφουμε τώρα την προσοχή μας στις αποδεικτικές ασκήσεις της μορφής «να δείξετε ότι», περιοριζόμενοι στο πεδίο της σχολικής γεωμετρίας, και συγκεκριμένα στις ασκήσεις που ζητούν από τον λύτη την υπόδειξη κάποιας μετρικής σχέσης ανάμεσα σε δύο (ή περισσότερα) σχήματα. Εδώ, το ιδεολόγημα της «μέτρησης», συνεπικουρούμενο από την διαμεσολάβηση του συγγενούς με αυτό πολιτισμού της εικόνας, επενεργεί καταστροφικά στην πρόσληψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία απαιτεί συγχρόνως την αυτοτέλεια της γεωμετρικής εποπτείας (να μπορεί ο λύτης να αντιμετωπίσει με άμεσα γεωμετρικό τρόπο τα επί μέρους προβλήματα) και συγχρόνως την δυνατότητα αποστασιοποίησης από το σχήμα μέσω του κριτικού αναστοχασμού των γεωμετρικών και γενικότερα των μαθηματικών εννοιών.

Το ιδεολόγημα της “μέτρησης” παρεμβαίνει άμεσα στην πρόσληψη των γεωμετρικών σχημάτων, εντάσσοντάς τα εντός ή εκτός της σφαίρας του πραγματικού. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι το ιδεολόγημα της μέτρησης συμπυκνώνεται στην φράση: «Πραγματικό είναι το μετρήσιμο». Δηλαδή, «αν κάτι είναι πραγματικό, τότε είναι μετρήσιμο» και «αν κάτι είναι μετρήσιμο, τότε είναι πραγματικό». Μέσα σ’ ένα τέτοιο πλαίσιο, το γεωμετρικό σχήμα αντιμετωπίζεται ως εικόνα. Μια εικόνα μπορεί να αντικατοπτρίζει κάτι που είτε ανήκει είτε δεν ανήκει στη σφαίρα του πραγματικού. Αν μας ζητείται να δείξουμε μια σχέση ανάμεσα σε δύο πράγματα στην επικράτεια της Μεταφυσικής (με την αυστηρή φιλοσοφική έννοια), με βάση μεταφυσικές αρχές και εργαλεία, τότε η εικόνα συνιστά απλό σημαίνον, ένα σύνολο ιδιοτήτων που πρέπει να εκφραστούν γλωσσικά, και, κατόπιν επεξεργασίας, να φτάσουμε στο ζητούμενο. Αν, όμως, η εικόνα αντικατοπτρίζει κάτι που ανήκει στη σφαίρα του πραγματικού, τότε ο «πολιτισμός της εικόνας» και το ιδεολόγημα της μέτρησης επιβάλλουν ως κυρίαρχο τρόπο προσέγγισης την αντιπαραβολή των σχημάτων βάσει της διαδικασίας «βρείτε ομοιότητες και διαφορές». Εδώ, η έννοια της ομοιότητας δεν έχει την γνωστή μαθηματική σημασία, όντας διαμεσολαβημένη υπόρρητα από την πρόχειρη εμπειρική προσέγγιση (στη μορφή ή στο περιεχόμενο).

Σε αυτό ακριβώς το σημείο εμφανίζεται η (ψευδο-)έννοια του “μετρήσιμου”. Αν, με μια εμπειριστική αντίληψη, την πραγματικότητα μπορούμε μόνο να την προσεγγίσουμε με τις αισθήσεις μας (μεταφορικά και κυριολεκτικά), η αντιπαραβολή δύο πραγματικών σχημάτων συνίσταται στην κατά προσέγγιση απόδοση μετρικών σχέσεων. Ισοδύναμα, ο προσδιορισμός οποιασδήποτε σχέσης ανάμεσα σε δύο σχήματα μπορεί να γίνει μόνο μέσω της κατά προσέγγιση μέτρησης και αντιπαραβολής των διαφόρων μερών τους, και όχι, για παράδειγμα, μέσω ενός μετασχηματισμού τους.

Απ’ αυτήν ακριβώς την προσέγγιση του πραγματικού προκύπτει και ο κυρίαρχα εμπεδωμένος χαρακτηρισμός της μοντέρνας άλγεβρας ως «άχρηστης για την πραγματική ζωή». Εδώ συναντούμε την ιδεολογικά διαμεσολαβημένη χρήση δύο εννοιών: χρησιμότητα και πραγματικότητα. Αν η αφηρημένη άλγεβρα είναι άχρηστη για την πραγματική ζωή, θα είναι επειδή τα μαθηματικά της αντικείμενα δεν περιγράφουν την άμεσα βιωμένη πραγματικότητα, άρα, εν τέλει, επειδή δεν ανήκουν στο πραγματικό. Επομένως, αν μια «μέτρηση» αναφέρεται στη σύγχρονη (ανθρώπινα βιωμένη) πραγματικότητα τότε είναι χρήσιμη, και ό,τι είναι χρήσιμο, θα είναι χρήσιμο για την κατά προσέγγιση αποτύπωση του πραγματικού. Επομένως, το χρήσιμο είναι μετρήσιμο. Από την άλλη μεριά, το μετρήσιμο είναι εξ ορισμού χρήσιμο, αφού είναι διαρκώς προς χρήση. Συνεπώς, «χρήσιμο (και πραγματικό) είναι το μετρήσιμο και μόνο αυτό».

Τί σημαίνουν τα παραπάνω για την μαθηματική προσέγγιση της πραγματικότητας; Ποια είναι η «πραγματική ζωή» για την οποία τα μαθηματικά θα όφειλαν να μας δίνουν «εφόδια»; Σύμφωνα με την παραπάνω συλλογιστική, η πραγματική ζωή δεν είναι τίποτα άλλο παρά διαρκής προσπάθεια προσέγγισης ιδανικών καταστάσεων, την αναγκαιότητα των οποίων δεχόμαστε χωρίς απόδειξη. Ακόμη, ποια η σχέση μεταξύ μετρήσιμου και εφαρμογής; Σύμφωνα με τα παραπάνω, ό,τι είναι χρήσιμο πρέπει να έχει «εφαρμογή στην πραγματική ζωή». Ό,τι δεν είναι μετρήσιμο, δεν είναι χρήσιμο· επομένως είναι άχρηστο επειδή δεν έχει «εφαρμογές». Αυτό, όμως, προϋποθέτει μια συγκεκριμένη και συνολική παραδοχή ως προς την πρόσληψη της εκπαίδευσης εν γένει: Προκειμένου να δεχθούμε όλες τις ανωτέρω αντιλήψεις, πρέπει να δεχθούμε ότι η εκπαίδευση δεν έχει νόημα καθεαυτή.

Είναι άραγε η εκπαίδευση μια διαδικασία ετεροκαθοριζόμενη από τις κυρίαρχες εννοιολογήσεις του πραγματικού, χωρίς νόημα καθεαυτή; Και τα μαθηματικά έχουν νόημα μόνο ως καταγραφή αλγοριθμοποιημένων βημάτων για εφαρμογές-συνταγές; Πιστεύουμε ότι και στα δύο ερωτήματα, η απάντηση της εκπαιδευτικής, και ιδιαίτερα της μαθηματικής εκπαιδευτικής κοινότητας, πρέπει να είναι αρνητική. Γιατί, το ιδεολόγημα της “εφαρμογής” φέρει ενδογενώς μια παραμορφωμένη εικόνα των ίδιων των μαθηματικών. Αν τα μαθηματικά έχουν νόημα μόνο στο βαθμό που συνδέονται με εφαρμογές, τότε θα έπρεπε να προϋποθέσουμε ότι τα μαθηματικά ως επιστημονικό πεδίο έχουν νόημα μόνο στο βαθμό που το περιεχόμενο αυτού του πεδίου μεταφέρεται σε κάποια άλλα πεδία, τα οποία είναι «εφαρμοσμένα». Αλλά, η υιοθέτηση μιας διαδικασίας μεταφοράς της μαθηματικής γνώσης σε άλλα πεδία, προκειμένου αυτή να αποκτήσει νόημα, σημαίνει ότι η μελέτη των μαθηματικών εννοιών στη γενικότητά τους δεν έχει νόημα, δηλαδή, ότι τα θεωρητικά μαθηματικά δεν έχουν νόημα καθεαυτά ή ότι σε τελική ανάλυση δεν υπάρχουν, καθώς, αν είμαστε αποφασισμένοι να βαδίσουμε μέχρι τέλους προς την λάθος κατεύθυνση, για κάθε μαθηματικό κείμενο μπορούμε να βρούμε κάποια τελική χρήση του σε μια εφαρμογή.

Συνεπώς, το ιδεολόγημα της “εφαρμογής” συνιστά μια διαδικασία μεταφοράς-ώθησης του μαθηματικού κειμένου έξωθεν του εαυτού του, έως τον βαθμό που σταματά να είναι κείμενο, δηλαδή κείμενο φέρον ενδογενώς νόημα. Με αυτόν τον τρόπο, η απόδειξη και η λύση μπορούν να αντιμετωπίζονται ως συνταγές, και τα γεωμετρικά σχήματα ως εικόνες: με αυτόν τον τρόπο η “εφαρμογή” συγκροτείται ως εργαλειοποιημένη μεταφορά.

Ο Imre Lakatos γράφει στις Αποδείξεις & Ανασκευές ότι «η μαθηματική δραστηριότητα παράγει μαθηματικά», επομένως δεν μπορεί παρά να έχει νόημα καθεαυτή. Επίσης, επισημαίνει ότι τα μαθηματικά «αποκτούν δικούς τους αυτόνομους νόμους ανάπτυξης» και ο «αυθεντικά δημιουργικός μαθηματικός είναι μια προσωποποίηση, μια ενσάρκωση αυτών των νόμων, οι οποίοι πραγματώνονται μόνο μέσα στην ανθρώπινη δράση».[1] Επομένως, βλέπουμε για ποιον λόγο δεν θα ίσχυε μια ενδεχόμενη εμπειριστική ένσταση για πιθανή παραμέληση του ανθρώπινου παράγοντα.

2. Αναστοχασμός και “ανακλαστικότητα”, αντικειμενοποίηση και ψευδο-αντικειμενοποίηση στην εκπαίδευση και την επιστήμη

Ο κοινωνιολόγος Ulrich Beck και οι συνεργάτες του αποκαλούν άνθρωπο της Δεύτερης (ή Ύστερης) Νεωτερικότητας τον ανθρώπου που τον χαρακτηρίζει η ανακλαστικότητα (reflexivity), σε αντίθεση με τον αναστοχασμό (reflection):

Οι νοητικές ανακλάσεις (reflexes) είναι απροσδιόριστες. Είναι άμεσες (immediate). […] Έχουν να κάνουν με έναν κόσμο ταχύτητας και γρήγορης λήψης αποφάσεων. Τα άτομα της Δεύτερης Νεωτερικότητας δεν διαθέτουν αρκετή απόσταση αναστοχασμού από τον εαυτό τους, προκειμένου να κατασκευάσουν μια γραμμική, αφηγηματική βιογραφία. […] Το “μη-γραμμικό” άτομο μπορεί να θέλει να είναι αναστοχαστικό, αλλά δεν έχει ούτε το χρόνο ούτε το χώρο για να στοχαστεί (να σκεφτεί). Συνδέει μεταξύ τους δίκτυα, φτιάχνει συμμαχίες, κάνει συμφωνίες. Πρέπει να ζήσει, είναι υποχρεωμένο να ζήσει σε μια ατμόσφαιρα ρίσκου, στην οποία και η γνώση, αλλά και οι ευκαιρίες είναι αβέβαιες.[2]

Στο ίδιο κοινωνικό-ιστορικό πλαίσιο ο Scott Lash γράφει:

Το άτομο της Πρώτης Νεωτερικότητας είναι αναστοχαστικό (reflective), ενώ της Δεύτερης Νεωτερικότητας είναι ανακλαστικό (reflexive). Η ιδέα της αναστοχαστικότητας ανήκει στη φιλοσοφία της συνείδησης στην Πρώτη Νεωτερικότητα. […] Το να στοχάζεσαι (να σκέφτεσαι) σημαίνει ότι κατά κάποιον τρόπο υποβάλλεις το αντικείμενο κάτω από το υποκείμενο της γνώσης.[3]

Κατ’ αυτόν τον τρόπο, οι θετικές επιστήμες και τα μαθηματικά της Πρώτης Νεωτερικότητας θα λέγαμε ότι “αντικειμενοποιούν” τον κόσμο ―κάτι που δεν είναι πλέον ευρύτερα αποδεκτό στις κοινωνικές επιστήμες ως βέβαιο μεθοδολογικό τους χαρακτηριστικό, γι’ αυτό και η ιστορία των θετικών επιστημών ή η επιστημολογία τους δεν μπορεί να πάρει την «αντικειμενοποίηση» ως απροβλημάτιστη έννοια. Όμως η εκπαιδευτική και η αντικειμενοποιημένη πολιτική χρήση της επιστήμης (και ιδιαίτερα των μαθηματικών) στη Δεύτερη Νεωτερικότητα έχουν γίνει πλέον παθολογικές, καθώς κατασκευάζουν πρόχειρες ιδεολογικές εικόνες της επιστημονικής δραστηριότητας όπως η “μέτρηση” (σε αντίθεση λ.χ. με την έννοια του μετρικού χώρου ή της θεωρίας μέτρου στα μαθηματικά) και η “εφαρμογή”. Τέτοιες εικόνες τις ονομάζουμε «ψευδο-αντικειμενοποιημένες εικόνες» ή «ψευδο-εικόνες».

3. Μία έρευνα-πράξη στη γεωμετρία του Λυκείου[4]

Η ιστορική εξέλιξη της γεωμετρίας μπορεί να αποτελέσει πηγή νέας παιδαγωγικής πράξης. Στο σύγχρονο, όμως, νεοφιλελεύθερο καθεστώς της εκπαίδευσης η ιστορία της μαθηματικής γνώσης κατέχει δευτερεύοντα ή τριτεύοντα ρόλο, είναι περίπου κάτι σαν «βοηθητικές δεξιότητες». Ό,τι ενδιαφέρει κυρίως την τεχνοκρατική εκπαίδευση και κατάρτιση ανήκει στο τώρα, στο άμεσο παρόν: σε λίγο καιρό θα παλιώσει και θα αχρηστευθεί, ή το πολύ θα είναι «ρετρό» αντικείμενο νοσταλγίας για μερικούς, βαρεμάρας για άλλους. Για παράδειγμα, κανείς δεν νοιάζεται σήμερα για το πώς μπορεί να ήταν οι γεωμετρικοί συλλογισμοί των Αιγυπτίων, πώς μπορεί να επηρέασαν τους Έλληνες, τί καινούργιο έκαναν εκείνοι, και πώς θα μπορούσε μια τέτοια πορεία να ακολουθηθεί στη σχολική τάξη.

Όπως είναι τα πράγματα στο σημερινό Λύκειο (και κάτω από τη δαμόκλειο σπάθη των Γενικών Εξετάσεων για μαθητές και εκπαιδευτικούς), η μόνη αξιόπιστη έρευνα που μπορεί να γίνει ως παιδαγωγική παρέμβαση και πράξη (με την μαρξική έννοια του όρου) είναι ένα σύντομο πείραμα σε σχολικές τάξεις, στο οποίο τίθεται ένα εύληπτο πρόβλημα και παρατηρούνται οι αντιδράσεις των μαθητών, υπό φυσιολογικές συνθήκες, χωρίς καμία παρέμβαση από τους καθηγητές τους: απ’ αυτούς θα πρέπει απλώς να ενημερωθούν οι ερευνητές για τις τυχούσες επιδράσεις της διδασκαλίας που προϋπήρξε ανεξάρτητα από το πείραμα. Αυτή θα είναι μια σύντομη έρευνα-πράξη (research-action), που ενδέχεται να προβληματίσει συνολικότερα τους μαθητές και τους εκπαιδευτικούς, παρά την αποσπασματικότητά της, αλλά αν επαναληφθεί μπορεί να προκαλέσει και «αμυντικές» επίσημες αντιδράσεις του εκπαιδευτικού συστήματος (όπως έλεγχο ή απαγόρευση τέτοιων παρεμβάσεων).

Ο στόχος του πειράματος που ακολουθεί ήταν να φέρει τις ψευδο-έννοιες της “μέτρησης” και της “εφαρμογής” σε μια κριτική κατάσταση: οι μαθητές ή θα πρέπει να επινοήσουν κάτι διαφορετικό ή να χαθούν σε αδιέξοδους υπολογισμούς. Θέλοντας να παρατηρήσει και την επίδραση κοινωνικών παραγόντων, ο ένας από μας μπόρεσε να επιλέξει δύο λύκεια (που θα αποκαλούμε για λόγους κοινωνικής ευαισθησίας με ψευδώνυμα: το «Λύκειο του Νότου» και το «Λύκειο Ακρόπολις») και να πειραματιστεί, με το παράλληλο ενδιαφέρον ή απλώς με την ανοχή των καθηγητών της Β’ τάξης. Το πρώτο λύκειο θεωρείται ότι υστερεί σε «γνωστικό κεφάλαιο» σύμφωνα με την υπάρχουσα στερεοτυπική κοινωνική αντίληψη και επιλέχθηκε ως “ομάδα σύγκρισης” για το φαινόμενο που μελετάμε με βάση τα δεδομένα που συλλέξαμε με εμπειρική παρατήρηση: Στο Λύκειο του Νότου, από την Α’ ως τη Γ’ τάξη μειώνονται σταδιακά οι επισκέψεις των γονέων που ενδιαφέρονται για την πρόοδο των παιδιών τους, και έτσι οι διδάσκοντες λειτουργούν κάτω από λιγότερη πίεση. Αντίθετα, στο Λύκειο Ακρόπολις, όπως μας ανέφερε καθηγήτρια που προσέφερε τις υπηρεσίες της εκεί για πολλά χρόνια, μια μεγάλη πλειοψηφία μαθητών έχουν γονείς με πανεπιστημιακό επίπεδο σπουδών, οι οποίοι ενδιαφέρονται και ρωτούν συνεχώς για την πρόοδο των παιδιών τους, εκφράζοντας και «φροντιστηριακές» ή άλλες σχετικές απαιτήσεις.

Το επόμενο πρόβλημα δόθηκε σε μία τάξη Β’ Λυκείου καθενός από τα δύο παραπάνω λύκεια:

«Μείναμε» από μοιρογνωμόνια! Με τη χρήση μόνο του υποδεκαμέτρου σας επιβεβαιώστε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α (Σχ. 0).

Σχ. 0

Αυτό ήταν όντως ένα πρόβλημα για τους μαθητές, και όχι μια απλή άσκηση “εφαρμογής” του θεωρήματος της διχοτόμου, επειδή το θεώρημα αυτό είχε εξαιρεθεί από τη διδακτέα ύλη με βάση τις οδηγίες του Υπουργείου.

Στο Λύκειο του Νότου, εκτός από κάποιες περιπτώσεις μη κατανόησης της συνθήκης του προβλήματος (επιτρέπεται μόνο η χρήση του υποδεκαμέτρου), εμφανίστηκε σε αρκετούς μαθητές το εξής σενάριο που συνδυάζει τη στοιχειώδη θεωρία και τις στοιχειώδεις γεωμετρικές κατασκευές με την πρακτική της μέτρησης ως εμπειρικής επιβεβαίωσης (Σχ. 1):

Σχ. 1 (Εβελίνα). Παίρνω δύο σημεία με ίσες αποστάσεις από το σημείο Α, τα σημεία Κ και Λ. Φέρνω ένα ευθύγραμμο τμήμα [το ΚΛ] και βρίσκω πως ΑΔ περνά από το μέσο της ΚΛ και δημιουργείται ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΚΛ. Από τη στιγμή που είναι ισοσκελές, γνωρίζω πως η γωνία Κ και η γωνία Λ είναι ίσες και ήδη γνωρίζω πως το ΚΜ=ΜΛ και ΑΚ=ΑΛ, άρα η Α₁=Α₂, άρα ΑΔ είναι διχοτόμος.

Μια παραλλαγή του ίδιου σεναρίου βλέπουμε επόμενο σχήμα (Σχ. 2).

Σχ. 2 Σμαράγδα και Γιώργος. Στην ΑΓ φέρνω σημείο Δ ώστε ΑΔ = ΑΒ = 8,2 cm[,] άρα ΑΒΔ ισοσκελές[,] άρα αν ΑΔ διχοτόμος πρέπει ΒΖ=ΖΔ[.] Αλλά ΒΖ = 5,2 cm [και] ΖΔ = 5,9 cm[.] 

Δεδομένου ότι το θεώρημα της διχοτόμου βρισκόταν εκτός της διδακτέας ύλης, οι μαθητές αυτοί είναι φανερό ότι πραγματοποίησαν μια επινόηση κατασκευής, έστω απλής, που ήταν αναγκαία υπέρβαση της «εφαρμογής γνώσεων», και που κατέληγε σε μετασχηματισμό του προβλήματος σε ευκολότερο πρόβλημα.[1] 

Στο Λύκειο Ακρόπολις παρατηρήθηκαν, πρώτα, σενάρια που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν “αδύνατα” με την έννοια ότι αντιβαίνουν στα δεδομένα του προβλήματος, όπως λ.χ. η απόπειρα να δείξει κανείς ότι «τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι όμοια». Σε δύο μόνο θρανία δημιουργήθηκε ένα σενάριο (που μεταδόθηκε και στα άλλα θρανία), το οποίο μετασχηματίζει το πρόβλημα, με «εφαρμογή του νόμου του συνημιτόνου». Το σενάριο αυτό, όμως, δεν κατέληξε σε αποτέλεσμα λόγω των πολλών πράξεων που έπρεπε να γίνουν σε δεκαδικούς αριθμούς (Σχ. 3 και Σχ. 4). Τέλος, απ’ αυτή την τάξη μόνο μία μαθήτρια εφάρμοσε το θεώρημα της διχοτόμου.

Σχ. 4 Σοφία και Ελευθερία. Τα δύο κορίτσια προσπαθούν να αποδείξουν ότι ισχύει το αδύνατο σενάριο ότι το ΑΜΔΚ είναι ρόμβος: «Από τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, Κ και Μ, σχηματίζεται σχήμα με το Δ το οποίο εάν αποδειχθεί ότι είναι ρόμβος τότε η ΑΔ διχοτόμος».

Η ερμηνεία που δίνουμε στα πιο πάνω πειραματικά ευρήματα είναι ότι το «γνωστικό κεφάλαιο» στο οποίο υπερτερεί κατά την τρέχουσα αντίληψη στο Λύκειο Ακρόπολις δεν αντιστοιχεί αναγκαία και στην καταλληλότερη αντιμετώπιση ενός «ασυνήθιστου» προβλήματος. Μια πιθανή εξήγηση γι’ αυτό είναι η διαφορετική προσέγγιση της διδασκαλίας των μαθηματικών σε καθένα από τα δύο λύκεια. Μπορούμε να αναρωτηθούμε αν η μάθηση των μαθηματικών ταυτίζεται με την αφομοίωση θεωρίας και ασκήσεων (ανεξάρτητα από τη δυσκολία τους) ή με τη συζήτηση και την επινόηση, τη διάνοιξη «μονοπατιών» για την επίλυση προβλημάτων.

4. Συζήτηση: Τί σημαίνει για τους μαθητές «εφαρμογή προϋπάρχουσας γνώσης» στην επίλυση προβλήματος;

Τα αποτελέσματα του πειράματος στο Λύκειο Ακρόπολις μας δίνουν τη δυνατότητα να μιλήσουμε για τις διάφορες σημασίες που μπορεί να έχει για τους μαθητές το να “εφαρμόζουν” μια γνώση τους στην επίλυση προβλήματος. Διακρίνουμε τρεις τουλάχιστον ομάδες μαθητικών στρατηγικών στην περίπτωσή μας, που θα μπορούσαν να εμφανιστούν και σε άλλες περιπτώσεις σχολικών τάξεων:

(α) τις στρατηγικές[1] που βλέπουν το γεωμετρικό σχήμα σαν μια εικόνα, δυνάμει σχετιζόμενη με την ύλη προηγούμενων μαθημάτων, από την “μνήμη” των οποίων οι μαθητές νιώθουν ότι καλούνται να ανασύρουν τις κατάλληλες γνώσεις ή διδακτικές πρακτικές, με κριτήριο το κατά πόσον “ταιριάζουν” στην εικόνα του δοθέντος σχήματος.

(β) τη στρατηγική που ανάγει το πρόβλημα στη σχολική τριγωνομετρία.

(γ) τη στρατηγική που λύνει το πρόβλημα ως άσκηση “εφαρμογής” μιας ειδικής γνώσης (λ.χ. του θεωρήματος της διχοτόμου).

Η ομάδα στρατηγικών (α) περιλαμβάνει κυρίως “αδύνατα” σενάρια («όμοια τρίγωνα», «παραλληλόγραμμα που [δεν] είναι ρόμβοι») ως χαρακτηριστικές νοητικές ανακλάσεις (reflexes) που επιτείνονται από τη γενικότερη γραμμή εγκατάλειψης της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Η στρατηγική (β) έχει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον επειδή δεν πηγάζει από τη σύγχυση μεταξύ εικόνας και μαθηματικής “πραγματικότητας”, όπως οι στρατηγικές της ομάδας (α), αλλά εκπορεύεται απευθείας από τη διδασκαλία (στο σχολείο ή το φροντιστήριο): για να συγκρίνουμε δύο οξείες γωνίες αρκεί να συγκρίνουμε τα ημίτονα ή τα συνημίτονά τους, και αν αυτά είναι ίσα θα είναι ίσες και οι αντίστοιχες γωνίες. Άλλωστε, έτσι δεν αποκτά νόημα και η γωνία δύο διανυσμάτων σ’ ένα χώρο πολλών διαστάσεων; Εδώ παρατηρούμε ένα σημαντικό παράδοξο διδασκαλίας, το οποίο μοιάζει αρκετά με την κατάσταση του Αρχοντοχωριάτη που μαθαίνει καλούς τρόπους, στο ομώνυμο θεατρικό έργο του Μολιέρου: όσο περισσότερο μαθηματικοποιημένο (ή, γενικότερα, εξειδικευμένο) είναι ένα πρόβλημα, τόσο περισσότερο κρίσιμος γίνεται ο ρόλος του κοινωνικού παράγοντα, του πλαισίου που επιδρά ως καταλύτης στη διαδικασία των μαθηματικών (γενικότερα, στην εκπαιδευτική διαδικασία). Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η μεταφορά του προβλήματος στη τριγωνομετρία δεν συνίσταται σε μια συνθήκη κατανόησης και απλοποίησης του προβλήματος, αλλά την “εφαρμογή” μιας τυποποιημένης τεχνικής, για την οποία υπάρχει απλώς η ελπίδα να «δουλέψει», αντλείται ως εργαλείο με βάση τη λογική “δοκιμής και λάθους”, και μπορεί να αναγάγει το αρχικό πρόβλημα σε ένα πιο σύνθετο αντί να το απλουστεύσει. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι ο μαθητής στην εν λόγω περίπτωση αντιμετωπίζει τις τεχνικές επίλυσης σαν καλές πρακτικές (κατ’ αναλογία με τους καλούς τρόπους), και γι’ αυτό τον λόγο προσπαθεί να τους απομνημονεύσει, σαν κανόνες ορθής μαθηματικής συμπεριφοράς στις αντίστοιχες καταστάσεις που θέτει το κάθε πρόβλημα.

Η στρατηγική (γ) θα μπορούσαμε να πούμε ότι αποτελεί ένα συνδυασμό των στρατηγικών (α) και (β). Στην περίπτωση της στρατηγικής (α), οι τεχνικές οι οποίες γίνεται προσπάθεια να ανακληθούν ανήκουν στη σφαίρα της γεωμετρίας, και συνεπώς έχουμε ένα χαρακτηριστικό εμμένειας στο πεδίο αναφοράς. Στην περίπτωση της στρατηγικής (β), η μεταφορά του προβλήματος στην τριγωνομετρία έχει χαρακτηριστικά «μετάφρασης» του προβλήματος σε αλγεβρικούς όρους, δηλαδή μια έξοδο από το πεδίο της γεωμετρίας, την αντιμετώπισή του ως πεδίου χωρίς νόημα καθεαυτό, και την αναζήτηση του νοήματος μέσω της αλγεβρικής «μετάφρασης» των γεωμετρικών «εικόνων». Η στρατηγική (γ) περιλαμβάνει και τις δύο περιπτώσεις, απλώς χωρίς σειρά προτεραιότητας, και γι’ αυτόν ακριβώς τον λόγο ενδεχομένως να προκαλεί και την μεγαλύτερη νοητική σύγχυση στους μαθητές: αιωρούνται ανάμεσα σε ταυτόχρονες προσπάθειες αλγεβρικής μετάφρασης του σχήματος και αναζήτησης «καθαρών» γεωμετρικών σεναρίων, επί τη βάσει της αναζήτησης κάποιου «γνωστού» θεωρήματος, χωρίς να είναι σαφές αν το αναζητούν στη «γεωμετρική» ή την «αλγεβρική» του μορφή.

Σε ακριβώς αυτό το σημείο αναδεικνύεται ο καταστροφικός χαρακτήρας του ιδεολογήματος της μέτρησης. Όταν οι μαθητές μετρούν τις πλευρές του αρχικού τριγώνου ή του όμοιου τριγώνου που θέλουν να δημιουργήσουν στο εσωτερικό του (Σχ. 1), χωρίς η μέτρηση να είναι απαραίτητη και χωρίς να συνεισφέρει με κάποιο τρόπο στην επίλυση, η μέτρηση δημιουργεί σύγχυση ως προς τον τρόπο με τον οποίο αντλείται ένα γνωστό θεώρημα, ακόμα και αν η λύση είναι εν τέλει σωστή. Αφότου το θεώρημα έχει επιλεχθεί με την λογική της «δοκιμής και λάθους», και ακόμη κι αν υποθέσουμε ότι είναι εν τέλει το «σωστό» θεώρημα που πρέπει να επιλεχθεί, η μέτρηση δημιουργεί σύγχυση ως προς το κατά πόσον το θεώρημα εφαρμόζεται γεωμετρικά ή αλγεβρικά. Ως μαθηματικοί γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει διαφορά ανάμεσα στα δύο ως προς την ισχύ του θεωρήματος, οι μαθητές όμως δεν έχουν εμπεδώσει μια τέτοια αντίληψη στο Λύκειο, και το ιδεολόγημα της μέτρησης επιφέρει την μέγιστη έλλειψη σιγουριάς περί του τί ακριβώς κάνουν όταν εφαρμόζουν ένα επιλεχθέν θεώρημα, απομακρύνοντάς τους ακόμη περισσότερο από την συνειδητοποίηση της άμεσης σύνδεσης Άλγεβρας και Γεωμετρίας.

Μέσω της μέτρησης, οι μαθητές αιωρούνται ανάμεσα σε δύο εξίσου προβληματικές προσεγγίσεις: είναι η «επιβεβαιωμένη» δια της μέτρησης αριθμητική ισότητα κάποιων ευθύγραμμων τμημάτων του σχήματος που καθιστά θεμιτή την εφαρμογή με αλγεβρικούς όρους του επιλεχθέντος θεωρήματος (Σχ. 1 και Σχ.4, εφαρμογή στρατηγικής (α)), ή η δια της μέτρησης «αλγεβρική» επιβεβαίωση ενός «τύπου» του θεωρήματος, με βάση τα μήκη κάποιων ευθύγραμμων τμημάτων, που θεμελιώνει την γεωμετρική ισχύ του θεωρήματος στο σχήμα που τίθεται προς εξέταση (Σχ. 3, εφαρμογή στρατηγικής (β)); Και οι δύο στρατηγικές αποτελούν υποπεριπτώσεις της στρατηγικής (γ), και συνιστούν εκφάνσεις της κυριαρχίας του ιδεολογήματος της εφαρμογής, το οποίο, όπως είδαμε, συνδέεται άρρηκτα με το ιδεολόγημα της μέτρησης.

[Προδημοσίευση από το βιβλίο: Τ. Πατρώνης (επιμ.), Κριτικο-ερμηνευτικές προσεγγίσεις στα Μαθηματικά, την Εκπαίδευση, τη Φιλοσοφία και τη Λογοτεχνία. Προς μια Παιδαγωγική με Κριτική Διεπιστημονικότητα, εκδόσεις Αμολγός]

* Γιάννης-Παναγιώτης Βούλγαρης, απόφοιτος του Μαθηματικού Πατρών

** Τάσος Πατρώνης, αφυπηρετήσας επίκουρος καθηγητής του Μαθηματικού Πατρών

[1] Χρησιμοποιούμε τον όρο “στρατηγικές” όχι ειδικά με την έννοια κάποιων ορθολογικών μεθόδων ή ως την “ευρετική” ενός έμπειρου λύτη προβλημάτων, αλλά όπως περίπου τον εννοεί η Lesley Booth, στο σημαντικό άρθρο της «Child Methods in Secondary Mathematics» (Educational Studies in Mathematics, vol.12, 1981), δηλαδή ως τις αυθόρμητες “μεθόδους” (επαρκείς, ή, πιο συχνά, ανεπαρκείς) των μαθητών στην επίλυση προβλημάτων.

[1] Κατ’ αυτό τον τρόπο μπορούμε να κατανοήσουμε και ένα παράδειγμα «τεχνικής», στο οποίο αναφέρεται συχνά, στο βιβλίο της για την Επίλυση Προβλήματος, η Γιάννα Μαμωνά: προκειμένου να προσδιοριστεί το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου, συσχετίζουμε τα στοιχεία του συνόλου αυτού μέσω μιας αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας με τα στοιχεία ενός άλλου πεπερασμένου συνόλου, που το πλήθος των στοιχείων του είναι γνωστό ή μπορεί να βρεθεί ευκολότερα. Βλ. Γιάννα Μαμωνά-Downs, Ι. Παπαδόπουλος, Επίλυση Προβλήματος στα Μαθηματικά, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2019.

[1] I. Lakatos, Αποδείξεις & Ανασκευές, επιμ. Βουτσινά Π., Τροχαλία, 1996, σελ. 226-227. Οι υπογραμμίσεις είναι δικές μας.

[2] U. Beck, W. Bonns & Christoph Lau, «The theory of Reflexive Modernization: Problematic, Hypotheses and Research Programme», στο: Theory, Culture & Society, Vol. 20 (2), 1-33, 2003.

[3] S. Lash, «Non-linear Individualization», στο: U. Beck & E. Beck-Gernsheim (editors), Individualization, Sage, 2001 (οι υπογραμμίσεις δικές μας).

[4] Βλ. Τάσος Πατρώνης, Γιάννης Βασιλειάδης, «Πόσο κάνει 1+1+1+1+1 +1+1+1+1 +1+1+1 +1+1 +1», Μαθηματικών Φωνή, τεύχος 1, Χειμώνας 2018. Τα αποτελέσματα αυτού του πειράματος αναλύθηκαν, στην Ημερίδα της 28ης Μαρτίου 2021 που οργάνωσε η Κίνηση για την Αλλαγή στη Μαθηματική Εκπαίδευση για τα Προγράμματα Σπουδών του Ι.Ε.Π.