Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών

ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

Φωτεινή Παλπάνα, Stand, 2015 και Maps (Sea Folds) # 1-20, 2015, Ευγενική παραχώρηση της καλλιτέχνιδας. Φωτογραφία: Πηνελόπη Γερασίμου

William Dunham, Τα μεγάλα θεωρήματα των Μαθηματικών, Μετάφραση: Θεοφάνης Γραμμένος, εκδ. Αλεξάνδρεια, σελ. 380

Στις περισσότερες επιστήμες μια γενιά γκρεμίζει όσα έφτιαξε μια άλλη, και όσα θεμελίωσε ο ένας τα επαναφέρει στην προγενέστερη κατάσταση ο άλλος. Μόνο στα Μαθηματικά κάθε γενιά προσθέτει μια νέα ιστορία στην παλαιά δομή

Χέρμαν Χάνκελ

Το παράθεμα που προηγείται επισημαίνει μια πραγματική διαφορά των Μαθηματικών από όλες τις υπόλοιπες επιστήμες. Το γεγονός, δηλαδή, πως σε αυτήν η πρόοδος επέρχεται μέσα από συνεχείς προσθήκες σε ένα ήδη αναμφισβήτητο απόθεμα γνώσης. Με άλλα λόγια, στην περίπτωση των Μαθηματικών, «ό,τι γράφει δεν ξεγράφει». Ανατροπές στα ήδη αποδεδειγμένα δεν είναι δυνατόν να συμβούν. Κανένας Αϊνστάιν δεν πρόκειται να υποσκελίσει τον Νεύτωνα, προβλέποντας καλύτερα κάτι που στον προηγούμενο υφίστατο «περίπου». Το πυθαγόρειο θεώρημα θα παραμείνει αναλλοίωτο στους αιώνες των αιώνων, μια και είναι μέρος μιας εντελώς άφθαρτης από τον χρόνο πραγματικότητας. Όπως το θέτει ο Όλιβερ Χέβισαϊντ: «Η λογική μπορεί να είναι υπομονετική γιατί είναι αιώνια». Και τα Μαθηματικά, μετά τον Ευκλείδη, είναι το τελειότερο σύστημα παραγωγικής λογικής που διαθέτουμε.

Για ποιο πράγμα, όμως μας μιλούν τα Μαθηματικά; Υπάρχει ο κόσμος τους ανεξάρτητα από τον δικό μας κόσμο; Ή, στην πραγματικότητα, αποτελούν μια γλώσσα μέσω της οποίας μπορούμε, με ακρίβεια και απλότητα, να περιγράφουμε το εμπειρικό Σύμπαν γεγονότων και αντικειμένων; Είναι γνωστό πως σε αυτά τα ερωτήματα έχουν δοθεί διαφορετικές απαντήσεις στο πέρασμα του χρόνου. Η αιώνια αλήθεια, ωστόσο, των Μαθηματικών αποτέλεσε σταθερά μια πολύ ισχυρή ιδέα. Για τον Πλάτωνα, ο κόσμος των Ιδεών, αυτός που διαθέτει τη μέγιστη τελειότητα,  συνιστά την «αληθινή πραγματικότητα», απλό και στρεβλό απείκασμα της οποίας είναι ο δικός μας εμπειρικός κόσμος. Όποιος θέλει να αποκτήσει μια άμεση εμπειρία του κόσμου των  Ιδεών, του σύμπαντος των Μορφών, δεν έχει καλύτερο τρόπο από την βαθειά γνωριμία των Μαθηματικών. Γι’ αυτό, άλλωστε, στην πόρτα της Ακαδημίας δέσποζε αυστηρά η προσταγή: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην».

Η ίδια εκδήλωση σεβασμού απέναντι στην αιώνια αλήθεια των Μαθηματικών, της πρώτης ιστορικά επιστημονικής ηπείρου που διανοίχθηκε μπροστά μας, για να θυμηθούμε τον Αλτουσέρ, εμφανίστηκε πολλές φορές έκτοτε. Νομίζω, μάλιστα, ότι η ύψιστη στιγμή ήταν η επιλογή του Μπαρούχ Σπινόζα να γράψει την εμβληματική φιλοσοφικά Ηθική του more geometrico. Επιλογή, που, όπως η εκτύλιξη του έργου θα αποδείκνυε ήταν πραγματική αναγκαιότητα. Πάει να πει, μόνο η γεωμετρική, δηλαδή η μαθηματική, απόδειξη είναι πραγματικά απόδειξη. Όλα τα άλλα μπορούν να αμφισβητηθούν, τα Μαθηματικά όχι.

Η Ηθική, λοιπόν, ξεκινάει, όπως ακριβώς η Ευκλείδεια Γεωμετρία, με ορισμούς και αξιώματα, αυταπόδεικτες, δηλαδή, «προφανώς αληθείς» προτάσεις για να χτίσει ένα μοναδικό οικοδόμημα θεωρημάτων, λημμάτων και πορισμάτων. Αν αποδεχτείς τους οκτώ ορισμούς και τα επτά αξιώματα αναγκαία αποδέχεσαι όλο το έργο, στο μέτρο που αυτό δομείται παραγωγικά πάνω στα προηγούμενα. Έτσι ξεκινάς με ορισμούς, όπως «Με τον όρο υπόσταση εννοώ εκείνο που είναι καθ’ εαυτό και νοείται δι’ εαυτού, εκείνο δηλαδή που η έννοιά του δεν έχει ανάγκη από την έννοια ενός άλλου πράγματος, από όπου πρέπει να σχηματισθεί» και αξιώματα, όπως «Όλα όσα υπάρχουν, υπάρχουν είτε εν εαυτά, είτε σε άλλο πράγμα». Και καταλήγεις σε θεωρήματα, όπως «Ο Θεός, δηλαδή η υπόσταση που αποτελείται από απειρία κατηγορημάτων, που το καθένα τους εκφράζει μια αιώνια και άπειρη ουσία, υπάρχει αναγκαία» (Θ.11, Μέρος 1^ο) ή «Το μίσος δεν μπορεί ποτέ να είναι καλό» (Θ45, Μέρος 4^ο). Προσοχή, δεν μπορείς παρά να τα αποδεχτείς χωρίς αντίρρηση: είναι απολύτως αποδεδειγμένα.  Ο Σπινόζα ακολούθησε στην φιλοσοφία του το «κάνε το, όπως ο Ευκλείδης». Και αυτό έπαιξε ρόλο στην τεράστια επίδραση που άσκησε και συνεχίζει να ασκεί το έργο του. Όχι μόνο στη Φιλοσοφία: η εικόνα του κόσμου που μας δίνει η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι βαθειά επηρεασμένη από τις υποστάσεις, τα κατηγορήματα και τους τρόπους της σπινοζικής αντίληψης.

Κι αν σήμερα, μετά τον Γκέντελ, ξέρουμε πλέον –έχουμε την απόδειξη, δηλαδή- πως κανένα αξιωματικό σύστημα δεν είναι πλήρες, άρα «απολύτως αληθές», όπως ήθελε η προαιώνια παράδοση για τα Μαθηματικά, αυτό ελάχιστα μειώνει τη δύναμή τους. Το βιβλίο του Γουίλιαμ Ντάναμ μας το δείχνει πολύ καλά, πολύ πειστικά. Επιλέγοντας να παρουσιάσει μερικά από τα μεγαλύτερα Θεωρήματα της ιστορίας των Μαθηματικών και τον τρόπο απόδειξής τους κάνει μια εργασία μεγάλης αισθητικής αξίας, μια πραγματεία πάνω στην ομορφιά. Το γεγονός, μάλιστα, πως πάνω από το μισό βιβλίο είναι αφιερωμένο στα αρχαία ελληνικά Μαθηματικά, το κάνει και παιδαγωγικά αποτελεσματικό: όποιος έχει περάσει από το Λύκειο και κάνει μικρό κόπο να ξαναθυμηθεί τα βασικά της Γεωμετρίας είναι επαρκής αναγνώστης ενός έργου, που, όπως είπα, είναι αισθητικά απολαυστικό. Όποιος φτάσει στη μέση θα έχει μάθει ή θυμηθεί τόσα ώστε να μπορέσει να διεξέλθει το υπόλοιπο μισό.

Το βιβλίο απαρτίζεται από 12 κεφάλαια, που παρουσιάζουν Θεωρήματα από ένα μεγάλο φάσμα των Μαθηματικών και τις αποδείξεις τους. Την δουλειά του Ιπποκράτη από την Χίο (440 π.Χ.) πάνω στους τετραγωνισμούς κυκλικών μηνίσκων, αυτήν του Ευκλείδη (300 π.Χ.) σχετικά με τη Γεωμετρία και την Θεωρία των αριθμών. Τις αποδείξεις του Αρχιμήδη (225 π.Χ.) σχετικά με εμβαδά και όγκους, αυτές του Ήρωνα (75 μ.Χ.) για τα εμβαδά των τριγώνων. Την επίλυση της τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Καρντάνο (1545), την εισαγωγή του απειροστικού λογισμού από τον Νεύτωνα (1660), τα θεωρήματα σχετικά με τις αρμονικές σειρές του Μπερνούλι (1669) και την εργασία του Όυλερ (1734-1736) στα ασυνήθιστα αθροίσματα και στην Θεωρία αριθμών. Τέλος,    την Θεωρία των συνόλων και του απείρου, όπως διατυπώθηκε από τον Κάντορ (1874-1891). Στην καρδιά του κάθε κεφαλαίου υπάρχει ένα «σπουδαίο θεώρημα», όπως το ονομάζει ο Ντάναμ, με την οικονομικότερη γνωστικά και λογικά απόδειξή του. Έτσι, ο αναγνώστης δεν περιφέρεται απλώς σε ένα τοπίο, αλλά προσεγγίζει σε βάθος ειδικά θέματα κορυφαίας σημασίας.

Τόνισα ήδη τη μεγάλη αισθητικά αξία του βιβλίου του Ντάναμ -για να το πω «αρνητικά», την «έλλειψη πρακτικής χρησιμότητας» από την ανάγνωσή του. Την κατάδειξη του γεγονότος πως η μεγάλη επιστημονική εργασία ποτέ δεν έχει, για τον παραγωγό της, κάποιο άμεσο «πρακτικό» κίνητρο. Όπως το θέτει ο ίδιος ο συγγραφέας, το βιβλίο δεν «τονίζει την εφαρμοσιμότητα των Μαθηματικών στον προσδιορισμό των πλανητικών τροχιών, στην κατανόηση του κόσμου των ηλεκτρονικών υπολογιστών ή, επιπλέον, στον ισοσκελισμό του προϋπολογισμού σας. Βεβαίως, τα Μαθηματικά επέδειξαν εντυπωσιακή επιτυχία σε τέτοια εφαρμοσμένα εγχειρήματα. Όμως αυτό που οδήγησε τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη ή τον Γκέοργκ Κάντορ να αφιερώσουν τόση πολλή από την ενέργεια ή τη μεγαλοφυΐα τους σε αυτά δεν ήταν η εγκόσμια χρησιμότητά τους.  Οι άνθρωποι αυτοί δεν ένιωθαν υποχρεωμένοι να δικαιολογήσουν την εργασία τους με ωφελιμιστικές εφαρμογές, όπως ούτε ο Σαίξπηρ ένιωθε υποχρεωμένος να ζητήσει συγγνώμη επειδή έγραψε ερωτικά σονέτα αντί για οδηγούς μαγειρικής ή ο Βαν Γκογκ επειδή έφτιαξε ελαιογραφίες αντί για υπαίθριες διαφημίσεις».

Έχει σημασία, νομίζω, να το επισημαίνουμε αυτό σε κάθε ευκαιρία. Γιατί δεν είναι μόνο οι νεοφιλελεύθεροι που αναρωτιούνται διαρκώς για την «ωφελιμότητα» της βασικής επιστημονικής εργασίας. Ακόμη περισσότερο, πολλές φορές, το κάνουν «προοδευτικοί» δημοσιολόγοι, οι οποίοι, επικαλούμενοι κοινωνικές, ανθρωπιστικές ή οικολογικές ευαισθησίες και ανάγκες, αναρωτιούνται γιατί «θα έπρεπε να δίνονται τόσα χρήματα» για δραστηριότητες, οι οποίες ελάχιστα φανερό είναι το αν και πόσο συμβάλλουν στη μείωση του ανθρώπινου πόνου και στην πρακτική βελτίωση της ζωής της πλειοψηφίας. Πρόκειται περί σφάλματος, νομίζω. Και όχι μόνο γιατί καμία από τις πρακτικές εφευρέσεις σχεδόν δεν θα υπήρχε, αν δεν είχε προηγηθεί «άσκοπη» βασική έρευνα. Όποιος θέτει ερωτήματα του τύπου «γιατί να ξοδεύουμε τόσα χρήματα στα καθαρά Μαθηματικά, δισεκατομμύρια στους επιταχυντές ή στα διαστημικά τηλεσκόπια» προφανώς αγνοεί πως η συνολική χρηματοδότηση τέτοιων δραστηριοτήτων αποτελεί κάτι χιλιοστά της διαφημιστικής δαπάνης. Για να πιάσω το νήμα από εκεί που το άφησε ο Ντάναμ, στο λόγια του που παρέθεσα προηγούμενα, μάλλον δεν θα είχε ωφελήσει ιδιαίτερα την ανθρωπότητα μια επιλογή του Ευκλείδη να γίνει χρήσιμος χτίστης, ή του Σαίξπηρ και του Βαν Γκογκ να ιδρύσουν βιομηχανίες παραγωγής οικολογικών τροφών.