Είναι οι κύβοι σφαίρες;

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

TOY ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

GEORGE G. SZPIRO, Η «εικασία» του Πουανκαρέ, Μετάφραση: Θεοφάνης Γραμμένος

εκδ. Τραυλός, σελ. 448

Όσο δεν ήμουν σημαντικός, είχα τη δυνατότητα της  επιλογής να κάνω κάτι άσχημο [υπονοώντας την έλλειψη αξιοπρέπειας και ήθους στη μαθηματική κοινότητα] ή, αν δεν συμφωνούσα να το κάνω, έπρεπε να ανεχθώ να με μεταχειρίζονται σαν σκυλάκι. Τώρα, που έγινα ένα πολύ σπουδαίο πρόσωπο, δεν μπορώ να παραμείνω ένα σκυλάκι που δεν λέει κουβέντα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο έπρεπε να τα παρατήσω […] Ακόμα και εκείνοι, οι έστω και λίγο έντιμοι, ανέχονται αυτούς που δεν είναι.

ΓΚΡΙΓΚΟΡΙ ΠΕΡΕΛΜΑΝ

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν είναι πραγματικά ένα πολύ σπουδαίο πρόσωπο. Είναι σπουδαίο πρόσωπο γιατί επέλυσε έναν από τους μεγαλύτερους γρίφους των μαθηματικών. Αλλά είναι, ακόμη περισσότερο, σπουδαίο πρόσωπο λόγω του τρόπου με τον οποίο διαχειρίστηκε την «επιτυχία» του αρνούμενος όλα τα παρεπόμενα οφέλη. Όχι μόνο αρνήθηκε το Μετάλλιο Φιλντς, το αντίστοιχο των Νόμπελ για τα μαθηματικά, αλλά αδιαφόρησε ολοκληρωτικά και για το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων, που προσέφερε –και συνεχίζει να προσφέρει- το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι της Βοστόνης για την επίλυση οποιουδήποτε από τα επτά μαθηματικά Προβλήματα της Χιλιετίας.  Αρκούσε να απλώσει το χέρι του, αφού τηρούσε την προϋπόθεση της δημοσίευσης σε ένα έγκριτο περιοδικό. Δεν το έκανε ποτέ, αλλά προτίμησε να αναρτήσει τρεις εντυπωσιακές εργασίες στο διαδίκτυο, εξευτελίζοντας, με αυτόν τον τρόπο, τα διαδεδομένα κίνητρα, και μαζί τις πρακτικές, τις μεθόδους παρουσίασης και τις επιβραβεύσεις της σύγχρονης δυτικής Ακαδημίας.

Ο Πέρελμαν, χωρίς καμιά αμφιβολία, ξεκαθάρισε το ένα από αυτά τα επτά «μυστήρια», που ήταν καταχωρισμένο στην ιστορία των μαθηματικών με τον τίτλο «Εικασία του Πουανκαρέ».  Γι’ αυτό και ήταν πολύ μεγάλο το βάρος της μη εμφάνισής του, στις 22 Αυγούστου του 2006, στο 25^ο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών της Μαδρίτης,  για την απονομή του Μεταλλίου Φιλντς από τον Βασιλιά Χουάν Κάρλος, που ακόμα περιμένει.

Βέβαια, όπως έγινε γνωστό στη συνέχεια, ο Πέρελμαν ούτως ή άλλως ήταν, ήδη και σε όλη του τη ζωή, «περιθωριακή» φιγούρα. Παρέμεινε, παρόλο που είχε εξαιρετικές προτάσεις από τις ΗΠΑ, στο Ινστιτούτο Στεκλόφ της Πετρούπολης με ασήμαντο μισθό και κακές συνθήκες ζωής και εργασίας μέχρι το 2005 –και, έκτοτε, εν πολλοίς αγνοείται.

Στην πραγματικότητα, όμως, η «εκκεντρικότητα» του Πέρελμαν ίσως δεν είναι όσο εκκεντρική… φαίνεται. Το υπαινίσσεται και ο Szpiro, όταν, παρουσιάζοντας την ισχυρότατη αντίδραση ενός άλλου Ρώσου μαθηματικού, του Βέρσικ, απέναντι στα χρηματικά έπαθλα, ως κίνητρα της επιστημονικής δραστηριότητας («η χειρότερη έκφραση της σύγχρονης μαζικής κουλτούρας»), γράφει: «Αυτός ο τρόπος ομιλίας, ο οποίος απηχεί τα καθαρά συναισθήματα του Πέρελμαν, φέρνει στο νου τον αξιέπαινο, ίσως αφελή, ιδεαλισμό του σοβιετικού συστήματος, στο οποίο και οι δύο, Βέρσικ και  Πέρελμαν, είχαν ανατραφεί». Δεν ήταν του συστήματος ο «ιδεαλισμός», αλλά της κομμουνιστικής ιδεολογίας[1], κάποια στοιχεία της οποίας, προσχηματικά, έπρεπε το σύστημα να αξιοποιεί για τη νομιμοποίησή του. Είτε έτσι είτε αλλιώς, πάντως, τύποι σαν τον Πέρελμαν τα πίστευαν αποδεικνύοντας στη συνέχεια πως τα, εξ αυτών των στοιχείων, παραγόμενα κίνητρα ήταν πολύ αποτελεσματικά για την επιστημονική δραστηριότητα.

***

Το βιβλίο του Szpiro μας ξεναγεί σχεδόν μυθιστορηματικά στην υπόθεση, που κατέληξε σε όσα προηγουμένως αναφέραμε. Ξεκινάει με την περιγραφή της ζωής και του έργου του Ανρί Πουανκαρέ, καθώς και όσων, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ενεπλάκησαν στη διαμόρφωση της περίφημης «Εικασίας». Παρουσιάζει την εξέλιξη ενός κλάδου των μαθηματικών, στο πλαίσιο του οποίου εκτυλίχθηκαν τα παραπάνω.

Όταν ο Πουανκαρέ, ο ένας από τους τελευταίους δύο μαθηματικούς –ο άλλος ήταν ο Νταβίντ Χίλμπερτ-   οι οποίοι είχαν πλήρη κατανόηση του συνόλου των μαθηματικών της εποχής τους, της Belle Époque, που έληξε άδοξα πριν από 100 ακριβώς χρόνια με την ανθρωποσφαγή του Μεγάλου Πολέμου, διατύπωσε την «Εικασία», ο μαθηματικός αυτός κλάδος δεν είχε ακόμη κατοχυρώσει ούτε καν το όνομά του. Ό,τι σήμερα ονομάζεται Τοπολογία τότε αναφέρονταν με διάφορα ονόματα, όπως Ανάλυση Θέσης (Analysis Citus).

Τι είναι, όμως, η Τοπολογία;

Ας ξεκινήσουμε με ένα παράθεμα του Szpiro: «Σε τρεις μαθηματικούς έδειξαν έναν κύβο και τους ζήτησαν να περιγράψουν τι βλέπουν. Ο πρώτος, ένας γεωμέτρης, απάντησε: «Βλέπω έναν κύβο». Ο δεύτερος, μια καθηγήτρια εξειδικευμένη στη θεωρία γραφημάτων, τόλμησε να πει: «Βλέπω οκτώ σημεία, τα οποία συνδέονται με δώδεκα ακμές». Ο τρίτος, ένας τοπολόγος, δήλωσε: «Είναι ολοφάνερο-βλέπω μια σφαίρα» (σελ. 83).  Η ιστορία αυτή θέλει να πει πως οι διάφοροι κλάδοι των μαθηματικών  βλέπουν το ίδιο αντικείμενο με πολύ διαφορετικό τρόπο. Ακόμα περισσότερο, βλέπουν τον κόσμο με πολύ διαφορετικό τρόπο. Ο καθένας βλέπει ό,τι επιλέγει και αγνοεί όλα τα υπόλοιπα.

Η Τοπολογία, λοιπόν, είναι ο κλάδος που αδιαφορεί για τις γωνίες, τις αποστάσεις και το ακριβές σχήμα των αντικειμένων.  Στην πραγματικότητα απελευθερώνει τη γεωμετρία από τους περιορισμούς της μέτρησης. Η Τοπολογία ασχολείται με τα γεωμετρικά αντικείμενα χωρίς ποτέ να ενδιαφέρεται για οποιουδήποτε είδους μέτρηση. Αν, όμως, δεν μετράμε τότε τι μπορούμε να κάνουμε με τα αντικείμενα; Αυτό, λοιπόν, που κάνουν οι τοπολόγοι είναι να ταξινομούν τα αντικείμενα με κριτήριο χαρακτηριστικά τους που είναι αναλλοίωτα. Χρησιμοποιώντας για παράδειγμα δισδιάστατες  επιφάνειες καταλήγουν στο συμπέρασμα πως μια σφαίρα, ένα αυγό, ένας κύβος, αλλά κι ένα ποτήρι (προσοχή, μιλάμε για τις επιφάνειες) στην πραγματικότητα είναι το ίδιο αντικείμενο. Το κριτήριο ομοιότητας είναι το γεγονός πως πρόκειται για αντικείμενα των οποίων οι επιφάνειες δεν έχουν καμία τρύπα. Η φαντασιακή πρακτική, που το αποδεικνύει, είναι η δυνατότητά μας, αν τα εν λόγω αντικείμενα είναι φτιαγμένα από πηλό, να τα μετασχηματίσουμε το ένα στο άλλο παραμορφώνοντάς τα συνεχώς.

Για να το πούμε αλλιώς, οι τοπολόγοι ασχολούνται με το πώς μπορούμε να μετατρέψουμε ένα ποτήρι του νερού σε σφαίρα τεντώνοντας, συμπιέζοντας, συστρέφοντας, αλλά όχι κόβοντας ή συγκολλώντας. Έτσι, όλα τα αντικείμενα που μετατρέπονται το ένα στο άλλο με τέντωμα, συμπίεση, συστροφή ή περιστροφή, αλλά χωρίς τεμαχισμό ή συγκόλληση είναι, από τοπολογική άποψη, πανομοιότυπα, καλύτερα είναι το ίδιο αντικείμενο.  

Η Εικασία του Πουανκαρέ, σε όσο το δυνατό λιγότερο τεχνική γλώσσα, διατυπώνεται ως εξής: Κάθε σώμα που δεν περιέχει τρύπες και δεν είναι συστραμμένο[2], μπορεί να μορφοποιηθεί και να πάρει το σχήμα μιας σφαίρας (Και τα δύο, το σώμα και η σφαίρα, είναι τρισδιάστατα αντικέιμενα στον τετραδιάστατο χώρο) (σελ. 144). Αυτήν την πρόταση ξεκαθάρισε οριστικά ο Πέρελμαν, ολοκληρώνοντας το έργο πολλών δεκάδων κορυφαίων μαθηματικών, που εργάστηκαν για περισσότερο από έναν αιώνα. Και αυτήν την περιπέτεια περιγράφει ο Szpiro με γλαφυρές λεπτομέρειες.

Θα πει, βέβαια, κάποιος: δεν είναι πολύ αφηρημένα όλα αυτά; Ποια είναι η χρησιμότητά τους; Γιατί να διαβάσω ένα τέτοιο βιβλίο, αν δεν έχω ειδικά ενδιαφέροντα; Μια απάντηση είναι πως αυτά τα «αφηρημένα» είναι πολύ θεμελιώδη για την οικοδόμηση πολύ περισσότερο «άμεσων» –και όχι μόνο- θεωρητικών κατασκευών. Η θεωρία καταστροφών με εκτεταμένες εφαρμογές ακόμη και στην οικονομία, την κοινωνιολογία, ;h την κλιματολογία, η θεωρία κόμβων, με άμεση εφαρμογή στη γενετική και γενικότερα στην βιολογία, είναι πολύ χαρακτηριστικές. Όπως είναι και η θεωρία χορδών, η οποία τις τελευταίες δεκαετίες έχει ανοίξει νέους ελπιδοφόρους δρόμους στην κατανόηση των «έσχατων» επιπέδων της ύλης. Η κυριότερη απάντηση, ωστόσο, είναι πως αυτά τα «αφηρημένα» είναι μαγικά. Τόσο που δικαιούνται πολύ περισσότερο κόπο από αυτόν που απαιτεί η μελέτη του βιβλίου του George Szpiro.

---

[1] Έχει ενδιαφέρον να σημειωθεί πως ένας από τους κυριότερους προδρόμους του Πέρελμαν, στο κυνήγι της «Εικασίας»,  υπήρξε ο Πέτρος Παπακυριακόπουλος, ο οποίος έκανε το διδακτορικό του μέσα στην Κατοχή, στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο,  πήρε μέρος από την πλευρά του ΚΚΕ στα Δεκεμβριανά, ακολούθησε την έξοδο από την Αθήνα στην ύπαιθρο, προσφέροντας τις υπηρεσίες του ως δάσκαλος στην Καρδίτσα, μετά τη Βάρκιζα επέστρεψε στο ΕΜΠ, για να απολυθεί το 1946. Διασώθηκε, τελικά, όταν έστειλε την εργασία του στον μεγάλο αμερικανό μαθηματικό Ραλφ Φοξ και αυτός, εντυπωσιασμένος, τον κάλεσε στο Πρίνστον, αλλάζοντας τη μοίρα του. Βλ. και Απόστολος Δοξιάδης, Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ, Καστανιώτης.

[2] Το πιο διάσημο συστραμμένο αντικείμενο είναι η λωρίδα του Μέμπιους, που παράγεται από μια κορδέλα, την οποία συστρέφουμε μια φορά και στη συνέχεια ενώνουμε τις άκρες της. Είναι προφανές πως, σε αυτήν την περίπτωση, για να φτάσουμε στο ίδιο σημείο πάνω της πρέπει να τη διατρέξουμε δύο φορές. Μπορούμε να πούμε πως πρόκειται για μια κορδέλα που έχει μία μόνο επιφάνεια.