Στιγμές στοχασμού για τα μαθηματικά

ΤΟΥ ΒΑΣΙΛΗ ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ

Στιγμές και διάρκειες. 13 κείμενα φιλοσοφίας και ιστορίας των μαθηματικών και της λογικής, Επιμέλεια Δ. Αναπολιτάνος, Εκδόσεις Νεφέλη, σελ. 416

Τα μαθηματικά αντικείμενα και οι αλήθειες για αυτά, είναι άραγε δημιουργήματα της ανθρώπινης νόησης ή έχουν αντικειμενική ύπαρξη; Η γνώση τους αποτελεί διαδικασία ανακάλυψης ή κατασκευής; Τι αναδεικνύει σχετικά η διερεύνηση της ιστορικής τους διαμόρφωσης; Και είναι δυνατόν, τα ίδια τα μαθηματικά να καταστούν αντικείμενο μαθηματικής ανάλυσης; Αυτά τα μοτίβα διατρέχουν το βιβλίο Στιγμές και διάρκειες, μια συλλογή κειμένων γραμμένων από ειδικούς επιστήμονες, που ωστόσο απευθύνονται και στον μη ειδικό αναγνώστη.
Σε τέτοια θεμελιώδη ερωτήματα, ο Δ. Αναπολιτάνος προτείνει μια πρωτότυπη απάντηση, την οποία χαρακτηρίζει ως «ήπιο ρεαλισμό». Κατ’ αυτόν, «οι μαθηματικές οντότητες αποτελούν συστατικό της ύφανσης του κόσμου». Συνεπώς, οι μαθηματικές οντότητες και αλήθειες ανακαλύπτονται, δεν κατασκευάζονται, μολονότι οι συνθήκες της ανακάλυψής τους καθορίζονται από την ιστορική συγκυρία. Υπάρχουν δυνάμει, με μια ισχυρή έννοια, που σημαίνει ότι το κυοφορούμενο ως δυνατότητα θα υπάρξει αναγκαία, από τη στιγμή που το σύμπαν εμπεριέχει τη δυνατότητα ύπαρξης του έλλογου όντος. Δυο αξιοσημείωτες θέσεις του συγγραφέα είναι ότι τα μαθηματικά αποτελούν ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρξουν οι επιστήμες ως ώριμες επιστημολογικές κατακτήσεις, ενώ αποτελεί «προνόμιο του ανθρώπινου πνεύματος» το νοητικό άλμα που οδηγεί στην αποδοχή της ύπαρξης αντικειμένων μη προσβάσιμων με πεπερασμένες κατασκευαστικές διαδικασίες, με χαρακτηριστική περίπτωση την ανακάλυψη του απείρου, αυτόν τον «πειθαρχημένο θρίαμβο της ανθρώπινης πνευματικής ελευθερίας».
Οι Γ. Βαφειάδου και J.R. Moschovakis παρουσιάζουν το φιλοσοφικό ρεύμα του ενορατισμού (ιντουισιονισμού). Ο πυρήνας του είναι κατασκευασιοκρατικός: η ύπαρξη ενός μαθηματικού συστήματος που ικανοποιεί ένα σύνολο αξιωμάτων μπορεί να αποδειχθεί μόνο με κατασκευή, όχι από τη συνέπεια του λογικού συστήματος που βασίζεται σε αυτά τα αξιώματα. Οι συγγραφείς εκθέτουν τις έννοιες μιας ενορατικής λογικής, επισημαίνουν τις προκλήσεις που αντιμετωπίζει ο ενορατισμός και παραθέτουν τις βασικές διαφορές από τα κλασικά μαθηματικά.
Ο τίτλος της εργασίας του Α. Τζουβάρα παραπέμπει στη γνωστή φράση του Wigner για την «ακατανόητη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες». Για να υπογραμμίσει αυτό που θεωρεί ως «εντυπωσιακή αναποτελεσματικότητά» τους σε γνωστικές περιοχές πέραν της φυσικής, ο συγγραφέας επικεντρώνεται στην «καθημερινή λογική», η οποία αναφέρεται σε γεγονότα του πραγματικού κόσμου και τις σχέσεις τους, και όχι σε αφηρημένα σχήματα όπως η τυπική λογική, καθώς και σε ζητήματα θεωρίας νοήματος και σημασιολογίας φυσικών γλωσσών. Τέλος, προτείνει ότι πίσω από την ακαταλληλότητα των μαθηματικών σε τέτοιες περιοχές βρίσκεται η αδυναμία των υπαρχόντων μαθηματικών να πραγματευθούν την ασάφεια που διαποτίζει τη φυσική γλώσσα.
Η Δ. Χριστοπούλου παρουσιάζει τη λύση που προτείνεται στα πλαίσια του προγράμματος του νεολογικισμού στο επονομαζόμενο δίλημμα του Benacerraf. Τούτο υπογραμμίζει το πρόβλημα, σε σχέση με την αντιμετώπιση της μαθηματικής αλήθειας, της εναρμόνισης μιας ενιαίας σημασιολογίας για τις μαθηματικές και τις εμπειρικές προτάσεις της επιστημονικής γλώσσας με μια ικανοποιητική γνωσιολογία. Η συγγραφέας εκθέτει τον τρόπο που η αφαιρετική αρχή του Frege απαντά, κατά τους νεολογικιστές, τόσο σε επίπεδο γνωσιολογίας όσο και ως προς την εναρμόνιση με τον ρεαλισμό.
Ο Σ. Νεγρεπόντης υποστηρίζει ότι η Πυθαγόρεια φιλοσοφία διαμορφώθηκε με βάση ιδέες που οδήγησαν στην ανακάλυψη της απόδειξης της ασυμμετρίας της διαμέτρου προς την πλευρά τετραγώνου. Με ενδελεχή παράθεση πηγών και σχετικής βιβλιογραφίας, ο συγγραφέας δείχνει τη σύνδεση της ασυμμετρίας με την απειρία, με κεντρική έννοια το Πυθαγόρειο ανθυφαιρετικό κριτήριο ασυμμετρίας μεγεθών με πιθανή καταγωγή από τη μουσική θεωρία των Πυθαγορείων.
Η λεπτομερής ανακατασκευή της Πυθαγόρειας απόδειξης αναδεικνύει τον κρίσιμο ρόλο του λογισμού των γνωμόνων για τη γνώση του άπειρου ανθυφαιρετικού αναπτύγματος της διαμέτρου προς πλευρά τετραγώνου, και υποδεικνύει τον τρόπο που η Πυθαγόρεια φιλοσοφία υπήρξε αναγκαία προϋπόθεση για τον ορισμό των αριθμών. Εν κατακλείδι, ο συγγραφέας εξηγεί πώς η Πυθαγόρεια ανακάλυψη αποτέλεσε πηγή έμπνευσης για το παράδοξο διχοτομίας του Ζήνωνος.
Ο Κ. Δημητρακόπουλος εκθέτει την Αριστοτέλεια συλλογιστική θεωρία και τους συλλογιστικούς τρόπους από τους οποίους προκύπτουν έγκυροι αναλυτικοί συλλογισμοί, καθώς και την κατάταξή τους σε σχήματα. Ως επιτεύγματα του Αριστοτέλη, παραθέτει τη χρήση μεταβλητών αντί για γενικούς όρους, την κατασκευή συστήματος για ανάλυση και μελέτη έγκυρων συλλογισμών και την ενασχόληση με μεταλογικά θέματα όπως το παραγωγικό σύστημα, η ανάγκη κάθε απόδειξη να γίνεται μέσω αναλυτικών συλλογισμών και οι προσπάθειες αναγωγής τρόπων σε άλλους.
Η εργασία του Α. Δέμη καταδεικνύει τη σημασία της χρήσης μαθηματικών εννοιών στα επιχειρήματα των Αρχαίων φιλοσόφων. Ο συγγραφέας πραγματεύεται ένα επιχείρημα του Σέξτου Εμπειρικού, το οποίο, εισάγοντας τα μαθηματικά ως δομικό στοιχείο των συλλογισμών για τη μελέτη της φυσικής ή της φιλοσοφίας, οδηγεί σε μια ατέρμονα αλγοριθμική διαδικασία, κάθε βαθμίδα της οποίας αποτελεί αφετηρία για μια άλλη ατέρμονα διαδικασία –που αποδίδεται με την έκφραση «απειράκις άπειρο». Μολονότι το επιχείρημα του Σέξτου δεν κατορθώνει να αποδείξει τίποτε, η σημασία του έγκειται στην παρουσία γινομένων απείρων μεγεθών.
Ο Β. Καρασμάνης πραγματεύεται τις περιπτώσεις τριών μαθηματικών –Ιπποκράτης ο Χίος, Λέων, Θεύδιος– οι οποίοι συνέγραψαν Στοιχεία πριν από τον Ευκλείδη. Επίτευγμα του Ιπποκράτη αποτελεί η μέθοδος της απαγωγής, το έργο του ωστόσο δεν αφορά μια ήδη αξιωματικοποιημένη γεωμετρία. Ο Λέων διακρίθηκε στα πλαίσια της ανάπτυξης των μαθηματικών στην Πλατωνική Ακαδημία. Τα Στοιχεία του, πιο εκτεταμένα και καλλίτερα οργανωμένα, προδίδουν ενδιαφέρον για θέματα μεθοδολογίας και θεμελίωσης. Ο Θεύδιος, τέλος, ανήκει επίσης στους μαθηματικούς της Ακαδημίας. Τα δικά του Στοιχεία είναι πιο ολοκληρωμένα και πιθανόν εδώ παρουσιάζονται αξιώματα, μολονότι όχι τα αιτήματα του Ευκλείδη, ο οποίος είναι και ο τελευταίος που συνέγραψε Στοιχεία.
Οι Γ. Χριστιανίδης και Δ. Διαλέτης εξετάζουν την έννοια του αριθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου. Ιδιαίτερα επικεντρώνονται στην έννοια «άλογος αριθμός». Στη συνέχεια, οι συγγραφείς εκθέτουν τα κατά Διόφαντο είδη και παρουσιάζουν λεπτομερώς τη συγκροτημένη αριθμητική θεωρία για την επίλυση προβλημάτων, επισημαίνοντας την καινοτομία αριθμητικών πράξεων μεταξύ ειδών, η οποία προσδίδει στο έργο του Διόφαντου αλγεβρικό χαρακτήρα.
Αντικείμενο του Φ. Φουρναράκη είναι το υπόμνημα του Μαρίνου στα Δεδομένα του Ευκλείδη. Η μελέτη του συγγραφέα καταλήγει σε τρία συμπεράσματα: Τη διαφοροποίηση των όρων «δεδομένο» και «δοθέν»• τη σύνδεση με τον όρο των Στωικών «κατάληψη»• τον ορισμό του δεδομένου ως «πόριμον», δηλαδή αυτό που «είμαστε ήδη σε θέση να το οδηγήσουμε προς κάτι που έχει τύχει επεξεργασίας και υπάρχει στη νόησή μας».
Ο Κ. Χατζηκυριάκου εκθέτει το πλαίσιο του προγράμματος των Ανάστροφων Μαθηματικών, παρουσιάζοντας τη δευτεροβάθμια αριθμητική, τα υποσυστήματά της και το περιεχόμενό τους. Στόχος είναι η εύρεση ενός μέτρου της λογικής ισχύος ενός θεωρήματος. Ο συγγραφέας εξηγεί πώς το πρόγραμμα ταξινομεί πλήθος θεωρημάτων σε λιγοστές κλάσεις λογικής ισοδυναμίας. Συμπερασματικά, το πρόγραμμα «δραματικά αντιπαραθέτει στην τυποποιημένη πολύμορφη μαθηματική πρακτική ενός ιδεατού μαθηματικού τις λιγοστές μαθηματικο-λογικές αρχές που αντιστοιχούν στα υποσυστήματα της [δευτεροβάθμιας αριθμητικής] και έχουν προκύψει από τη μαθηματικο-λογική ανάλυση της ίδιας της πρακτικής του».
Οι Ε. Καλυβιανάκη και Γ. Ν. Μοσχοβάκης εξετάζουν διαχρονικά τη σχέση ανάμεσα σε σημαίνοντα και σημαινόμενα, προκειμένου να παρουσιάσουν μια θεωρία προσδιορισμού αναφοράς. Προς τούτο, περιγράφουν λεπτομερώς μια τυπική γλώσσα στην οποία μπορεί να αποδοθεί πιστά μεγάλο τμήμα της φυσικής γλώσσας. Μια τέτοια γλώσσα θεωρείται ως γλώσσα προγραμματισμού, τέτοια ώστε ο κάθε όρος θεωρείται πρόγραμμα που εκφράζει κάποιον αλγόριθμο ο οποίος ταυτίζεται με το νόημα του όρου.
Ο Γ. Κολέτσος αναφέρεται στα δύο διακριτά και ανεξάρτητα στοιχεία που συγκροτούν την αποδεικτική διαδικασία κατοχύρωσης της ισχύος μιας μαθηματικής πρότασης – αξιώματα και κανόνες του συλλογίζεσθαι. Αφού αναφερθεί σε τυπικά συστήματα που μπορούν να αναπαριστούν τη μαθηματική συλλογιστική, ο συγγραφέας εξηγεί πώς αξιωματικά συστήματα αναγνωρίστηκαν ως προγράμματα υπολογισμού, βάσει ενός κατάλληλα οριζόμενου ισομορφισμού αποδείξεων και προγραμμάτων. Το αποτέλεσμα είναι ότι η κατασκευή αποδείξεων –προσπάθεια ανακάλυψης της αλήθειας– ανάγεται στην κατασκευή –ή μήπως την ανακάλυψη, αναρωτάται ο συγγραφέας– προγραμμάτων, με συνέπεια, ίσως, τη διερεύνηση των προγραμμάτων του ανθρώπινου νου.
Το βιβλίο, καθώς συνδυάζει ένα τόσο ευρύ φάσμα προσεγγίσεων, οδηγεί εύλογα τον αναγνώστη στην αναζήτηση των βαθύτερων μοτίβων που συνιστούν συνδετικούς κρίκους για την ποικιλία των θεμάτων του. Μια συναρπαστική διαδρομή που ερεθίζει τη σκέψη και, σε κάθε περίπτωση, απολαυστικό ανάγνωσμα.

Ο Βασίλης Σακελλαρίου είναι Διδάκτωρ Φιλοσοφίας της Επιστήμης του τμήματος ΜΙΘΕ, Πανεπιστήμιο Αθηνών