Μαθηματικά για όλους;

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Του Χρήστου Λάσκου*

MILO BECKMAN, Μαθηματικά χωρίς αριθμούς, Μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, εκδόσεις Αλεξάνδρεια, σελ. 248

Οι μαθηματικές έννοιες διαμορφώνουν μια δική τους αντικειμενική πραγματικότητα, την οποία δεν μπορούμε ούτε να δημιουργήσουμε ούτε να αλλάξουμε, αλλά μόνο να την αντιληφθούμε και να την περιγράψουμε

Κουρτ Γκέντελ

Αυτό που μας λέει ο Γκέντελ, με τα πιο πάνω λόγια, είναι πως οι μαθηματικές οντότητες είναι πράγματα, που υπάρχουν αντικειμενικά. Κάπως σαν τις πέτρες, τα άστρα ή τους καρχαρίες. Δεν είναι δικές μας, χρηστικές, επινοήσεις, εφευρήματα, εργαλεία για να κάνουμε τη δουλειά μας, αλλά αντικείμενα «εκεί έξω», όσο κι αν αυτό το έξω είναι μια περιοχή ιδιαίτερη. Μπορούμε να τα ανακαλύψουμε, όπως οι Ευρωπαίοι ανακάλυψαν την Αμερική. Δεν μπορούμε να τα επινοήσουμε λες κι είναι κάτι σαν το πλυντήριο. Η θέση αυτή είναι, κατεξοχήν, πλατωνική. Τα μαθηματικά όντα, τέλεια και αιώνια, υπάρχουν, όπως και οι Ιδέες, οι Μορφές, στον δικό τους κόσμο, ο οποίος είναι περισσότερο πραγματικός από τον δικό μας κόσμο της εμπειρίας, που συνιστά ατελές απείκασμα του πρώτου.

Υπάρχει και η αντίθετη σύλληψη. Ακόμη, όμως, κι αν αποδεχτούμε αυτήν, την περισσότερο πραγματιστική, στο μέτρο που ισχυρίζεται πως τα μαθηματικά, όπως και η αλήθεια, άλλωστε, είναι εξελικτικά προϊόντα του ανθρώπινου πολιτισμού, ώστε να πορεύεται, με την, κατά το δυνατόν, μεγαλύτερη ασφάλεια μέσα στον κόσμο, η γοητεία τους παραμένει αμείωτη. Μ’ όλο, ωστόσο, που η ενασχόληση με τα μαθηματικά είναι από τις πιο γνήσια διασκεδαστικές εμπειρίες, οι περισσότεροι άνθρωποι τα θεωρούν «δύσκολα». Ενώ οι περισσότεροι, πάλι, από αυτούς τα απεχθάνονται με πάθος.

Το βιβλίο του Milo Beckman δίνει μια εξαιρετική ευκαιρία να αγαπηθούν. Ή να αγαπηθούν, ακόμη περισσότερο. Ο συγγραφέας είναι ειδική περίπτωση. «Εθισμένος», όπως λέει το βιογραφικό του, από πολύ μικρή ηλικία στα μαθηματικά, ήδη στα 26 του χρόνια έχει διαγράψει μια θαυμαστή πορεία -και όχι μόνο στα μαθηματικά. Το βιβλίο είναι ένας οδηγός στους τρεις βασικούς τομείς των θεωρητικών μαθηματικών -τοπολογία, ανάλυση και άλγεβρα. Ο τρόπος του κάνει τους «απροσπέλαστους» αυτούς τόπους εντυπωσιακά προσιτούς. Μας δίνει τη δυνατότητα να σκεφτούμε πάνω στο άπειρο και το απειροστό -το άπειρα μικρό, δηλαδή-, στη συμμετρία, στο σχήμα και τη διάσταση, στην απόδειξη. Όπως λέει κι ο τίτλος, δεν χρησιμοποιεί αριθμούς, ακόμη κι όταν μιλάει για αριθμούς. Ιδίως τότε.

Ας δούμε λίγο την τοπολογία, για να αντιληφθούμε τον τρόπο που κινείται ο Μπέκμαν. Πάρτε ένα σχήμα, μας λέει. Λίγο πολύ όλοι ξέρουμε τι είναι ένα σχήμα. Κοιτάτε ένα αντικείμενο και εύκολα μπορείτε να αποφανθείτε αν είναι κύκλος ή ορθογώνιο ή οτιδήποτε άλλο. Ένας μαθηματικός, όμως, θα ρωτήσει: Τι είναι ένα σχήμα; Πόσα είδη σχημάτων υπάρχουν; Είναι πεπερασμένος ο αριθμός τους;

Αλήθεια, δεν είναι αυτόδηλο τι είναι ένας κύκλος; Δεν είναι αναγνωρίσιμο από όλους; Όχι, θα πουν οι τοπολόγοι. Ο κύκλος, αντίθετα από την προφανή μας αντίληψη, είναι ίδιος με ένα τρίγωνο. Όπως και με ένα τετράγωνο, ένα τραπέζιο, ένα παραλληλόγραμμο κι πολλά πολλά ακόμη. Γιατί; Μα γιατί, αν τον σκεφτούμε κατασκευασμένο από ένα σχοινί, είναι προφανές πως μπορούμε να τον μετατρέψουμε σε τρίγωνο, τετράγωνο, τραπέζιο, παραλληλόγραμμο. Τα σχήματα, λοιπόν, στην τοπολογία ανήκουν στην ίδια κατηγορία, όταν μπορούμε να μετατρέψουμε το ένα στο άλλο χωρίς να χρειαστεί να τα κόψουμε και να τα κολλήσουμε.

Από αυτήν την διαπίστωση προκύπτουν αξιοθαύμαστα και «μυστηριώδη» αποτελέσματα, που ο Μπέκμαν τα παρουσιάζει με εξαιρετικά παιδαγωγικό και «εύκολο» τρόπο.

Ή, πάρτε το άπειρο, συμβολιζόμενο ως ∞ . Πόσο «μεγάλο» είναι το άπειρο; Μα, μεγαλύτερο από οποιονδήποτε αριθμό μπορούμε να φανταστούμε, έτσι δεν είναι; Κι αν προσθέσουμε ακόμη ένα ή πέντε ή δέκα; Μεγαλώνει; Αν προσθέσουμε δύο «άπειρα», μεταξύ τους (∞+∞); Αν πολλαπλασιάσουμε άπειρο επί άπειρο (∞Χ∞);

Ε, λοιπόν, ο Μπέκμαν αποδεικνύει, με απίστευτα απλό τρόπο, πως, ο,τιδήποτε κι αν κάνουμε από τα παραπάνω, πάντα παίρνουμε το ίδιο άπειρο. Αν πολλαπλασιάσουμε, π.χ. το άπειρο επί τον εαυτό του, παίρνουμε πάλι το αρχικό άπειρο.

Ας το κάνουμε εικόνα κι αφήγηση. Έστω, λοιπόν, πως εργάζεστε στο συμπαντικό ξενοδοχείο «Το άπειρον». Ένα τουριστικό κατάλυμα με άπειρα δωμάτια, τα οποία τυχαίνει τη βραδιά που συζητάμε να είναι όλα γεμάτα, με άπειρους ενοίκους. Έρχεται στη ρεσεψιόν ακόμη ένας. Τον διώχνετε, τον βάζετε στην αποθήκη ή βρίσκετε τρόπο να του δοθεί ένα από τα ήδη κατειλημμένα δωμάτια; Παραδόξως, μπορείτε να κάνετε το τρίτο! Αρκεί να ζητήσετε από όλους τους ενοίκους να μετακινηθούν στο επόμενο από το δικό τους δωμάτιο, ώστε να αδειάσει το πρώτο για τον νέο επισκέπτη. Το ίδιο μπορείτε να κάνετε κι αν έρθει και δεύτερος καινούργιος -και τρίτος και τέταρτος και …εκατομμυριοστός και…

Καλά. Αν έρθουν, όμως, άπειροι νέοι πελάτες; Και πάλι υπάρχει λύση. Φτάνει να ζητήσετε από όλους να μετακινηθούν στο δωμάτιο με αριθμό διπλάσιο. Το ένα στο δύο. Το δύο στο τέσσερα, το τρία στο έξι κ.λπ. Όπως είναι προφανές, αδειάζουν άπειρα δωμάτια -το ένα, το τρία, το έξι,…, για να φιλοξενηθούν οι καινούργιοι.

Ό,τι και να κάνουμε, λοιπόν, πάντα καταλήγουμε στο ίδιο; Δεν υπάρχει τίποτε μεγαλύτερο από το απαριθμήσιμο -έστω, σε άπειρο χρόνο!- άπειρο; Το καταπληκτικό είναι πως υπάρχει κάτι ασύλληπτα μεγαλύτερο από αυτό το άπειρο. Η μαθηματική του ονομασία είναι συνεχές και το σύμβολό του c. Γι’ αυτό, όμως, και για δεκάδες άλλα, παρόμοιου ενδιαφέροντος, είναι το βιβλίο που θα σας οδηγήσει, τέρποντάς σας με μοναδικό τρόπο.

*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός

Christo, Wrapped Statues - Project for the Glyptothek (1988), εκτύπωση και κολλάζ σε χαρτί, 88 x 68 εκ.