Από τις φυσικομαθηματικές επιστήμες

ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΛΑΣΚΟΥ

Κωνσταντίνος Χατζηνικολάου, ΕΧ, 2013, ψηφιοποιημένο φιλμ σούπερ 8 (απόσπασμα)

FERNANDO CORBALAN, Η χρυσή τομή, Μετάφραση: Multimedia Α.Ε., Εκδόσεις 4π, σελ. 162

Οι αισθήσεις γοητεύονται από τις σωστές αναλογίες

Άγιος Θωμάς ο Ακινάτης

Ο κόσμος είναι μαθηματικά;

Υπάρχουν σχήματα στη φύση που προκαλούν το αισθητικό ενδιαφέρον όλων των ανθρώπων, ανεξαρτήτως εκπαιδευτικού επιπέδου ή πολιτισμικού περιβάλλοντος. Όπως επίσης υπάρχουν και έργα από όλες τις περιοχές της τέχνης, που διεγείρουν με εντυπωσιακά όμοιο τρόπο την προσοχή μας∙ όλων, πεπαιδευμένων και απαιδεύτων, εξίσου. Σε κάτι σχετικό, άλλωστε, είναι που ο Καντ αφιέρωσε τις σκέψεις του που αφορούν το «υψηλό», αυτό απέναντι στο οποίο το καθένα ανθρώπινο υποκείμενο στέκει έκθαμβο κι απορημένο.

Μπροστά στην θέα ενός μεγάλου καταρράκτη, στη βοή του ωκεανού, στον θόρυβο του ανέμου στην έρημο, όλοι οι άνθρωποι αισθάνονται παρόμοιο δέος, αντιλαμβάνονται ένα μεγαλείο πέρα από κάθε περιγραφή. Αυτή η αίσθηση του υψηλού είναι απολύτως αδιαμεσολάβητη, χωρίς εξαίρεση τμήμα του εξοπλισμού του ανθρώπινου όντος μπροστά στη φύση, μέρος εξίσου σημαντικό της αποσκευής του υποκειμένου, όσο οι μορφές της εποπτείας -ο χώρος και ο χρόνος- και οι κατηγορίες της νόησης.

Αυτό το χαρακτηριστικό είναι που μας κάνει, ανεξάρτητα από την παιδεία μας, να αντιλαμβανόμαστε σε παραστάσεις του κόσμου ένα αισθητικό μεγαλείο, που δεν επιδέχεται αμφισβήτηση. Έτσι λέει ο Καντ, υποβάλλοντας την ιδέα πως υπάρχει ένα είδος ισχυρής «αντικειμενικότητας» σε αισθητικές κρίσεις του τύπου που περιγράφηκε προηγούμενα. Και η αλήθεια είναι πως είναι πολύ πειστικός στην επιχειρηματολογία του, ιδίως όταν μας αναγκάζει να ανακαλέσουμε προσωπικά βιώματα: μπροστά στον καταρράκτη, απέναντι στον ωκεανό, μέσα στον ήχο του ανέμου.

Το «υψηλό» φαίνεται να μας υποχρεώνει, χωρίς εξαίρεση, να αποδεχτούμε την «υψηλότητά» του, το δέος δεν αποφεύγεται στο μέτρο που έρχεται από βαθιά μέσα μας με την ορμή του φυσικού. Πώς μπορεί να εξηγηθεί αυτό το δεδομένο;

Μήπως δεν είναι η μοναδική εκδοχή εξήγησης αυτή του Καντ, που την αναγάγει στην περιοχή του υποκειμένου και της συγκρότησής του; Μήπως, θέλω να πω, το γεγονός πως κάποιες πολύ σημαντικές αισθητικές παραδοχές τις μοιραζόμαστε όλοι δεν οφείλεται στο ό,τι αποτελούν τμήμα του εξοπλισμού μας –δομικό στοιχείο του υπερβατολογικού υποκειμένου, με τους όρους του Καντ- αλλά σε κάποια ιδιότητα του ίδιου του εξωτερικού, «αντικειμενικού» κόσμου;

Αυτή είναι η άποψη που υποστηρίζει ο Φερνάντο Κορμπαλάν στη Χρυσή Τομή. Εντοπίζει, μάλιστα, τον πυρήνα αυτής της αισθητικής «εμμονής» σε μια μαθηματική ποιότητα του κόσμου μας, που, τελικά, συγκεφαλαιώνεται σε έναν μόνο αριθμό. Ως εάν όλη η «αντικειμενική» αρμονία του σύμπαντος να πηγάζει από αυτόν τον αριθμό. Πρόκειται για τον άρρητο -που σημαίνει με άπειρα δεκαδικά ψηφία, εναλλασσόμενα χωρίς καμία κανονικότητα- αριθμό 1.6180339887… Ο αριθμός αυτός αναφέρεται, μεταξύ άλλων, με τις ονομασίες «χρυσός αριθμός» ή «θεία αναλογία» και αν θέλουμε να τον εκφράσουμε με απόλυτη ακρίβεια έχουμε τη μορφή 1+√5/2. Το δε διεθνές σύμβολό του είναι το ελληνικό γράμμα Φ.

Απάντησα εξαρχής στο ερώτημα και δεν το άφησα να αιωρείται, μ’ όλο που αυτό ίσως θα διατηρούσε ίσως εντονότερα το ενδιαφέρον για την παρουσίαση, ακολουθώντας αυτό που κάνει και ο Κορμπαλάν στο βιβλίο του. Να πώς ξεκινάει: «Τι κοινό έχουν εντελώς διαφορετικά φυσικά φαινόμενα όπως η διάταξη των σπόρων του ηλιοτρόπιου, η καλαίσθητη σπείρα στο κέλυφος κάποιων σαλιγκαριών και οι βραχίονες του Γαλαξία μας; Ποιο γεωμετρικό μοντέλο ανυπέρβλητης αρμονίας κρύβεται στο έργο σπουδαίων καλλιτεχνών και αρχιτεκτόνων, από τον Βιτρούβιο ως τον Λε Κορμπυζιέ και από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι έως τον Σαλβαδόρ Νταλί; Όσο απίστευτο κι αν φαντάζει, η απάντηση στα δύο αυτά ερωτήματα είναι ένα απλό νούμερο: ένας αριθμός τόσο ταπεινός, γνωστός από την αρχαιότητα, η συνεχιζόμενη παρουσία του οποίου σε φυσικές και καλλιτεχνικές εκφράσεις κάθε είδους του έχουν χαρίσει ονόματα, όπως ‘θεία αναλογία’, ‘χρυσός αριθμός’ ή ‘χρυσή αναλογία’».

Αυτός είναι ο αριθμός Φ. Ο οποίος, όπως δείχνει ο Κορμπαλάν, βρίσκεται πίσω από το σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, αλλά και πίσω από τη διάταξη των ροδοπέταλων, στο φύλο της φτέρης, στο σχήμα της σπείρας του ναυτίλου. Και ακόμα στις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, στην εξέλιξη των εμβρύων, στη φυλλοταξία και στους αριθμούς πετάλων κατά άνθος. Στο τρόπο που εκτυλίσσονται φαινόμενα διάχυσης και στην κοσμική εξέλιξη. Ή στα καθαρά μαθηματικά: εμβαδά και όγκοι κανονικών πολυέδρων, πεντάγωνα και πεντάλφες, χρυσά ορθογώνια. Μορφοκλασματικά σχήματα –φράκταλς, σχήματα χιονονιφάδων και ακτογραμμών. Μωσαϊκά Πένροουζ και μωσαϊκά Έσερ. Παντού αυτός ο μυστηριώδης, κοινότατος κατά τα άλλα, αριθμός Φ.

Και στην τέχνη να εντοπίζεται στον Παρθενώνα και στην Πύλη του Τιαχουανάκο των Ίνκας, στην Πυραμίδα του Χέοπα και στην πρόσοψη του Πανεπιστημίου της Σαλαμάνκα, στον Άνθρωπο του Βιτρούβιου, στη Μόνα Λίζα, στο Μυστικό Δείπνο του ντα Βίντσι, στην Αφροδίτη του Μποτιτσέλι , στην Αγία Οικογένεια του Μιχαήλ Άγγελου, αλλά και στον Ντύρερ και στον Μαλέβιτς ή τον Μοντιλιάνι. Παντού.

Ο αριθμός 1.6180339887…, χωρίς τίποτε το φανερά σημαντικό πάνω του, ένας ανάμεσα σε άπειρους άλλους άρρητους, λοιπόν, για κάποιον λόγο, που μόνο ο Θεός ξέρει, είναι πίσω από κάθε ανθρώπινο αριστούργημα και στο κέντρο της κοσμικής ομορφιάς.

***

Περί τίνος, όμως, πρόκειται; Ποιάς διαδικασίας γέννημα είναι ο Φ; Αντιστοιχεί σε κάτι περισσότερο θεμελιώδες από μαθηματική άποψη ή αποτελεί μια «θεϊκή» αυθαιρεσία;

Η απάντηση, στην οποία μας μυεί συστηματικά ο Κορμπαλάν είναι πως υπάρχουν πολλές και ποικίλες αλγεβρικές διαδικασίες, χωρίς καμιά προφανή σχέση μεταξύ τους, εξαιρετικά θεμελιώδεις, ωστόσο, όλες τους, που οδηγούν στην αριθμητική τιμή του Φ.

Έτσι, ο Φ δίνεται από την σχέση

Και από την

Όπως και από άλλες αντίστοιχες, που έχουν, όπως φαίνεται, έναν έντονα «κατασκευαστικό» χαρακτήρα. Η εξίσωση, δε, της οποίας μόνη θετική ρίζα αποτελεί ο Φ είναι η στοιχειώδης δευτεροβάθμια εξίσωση χ² -χ -1 = 0. Αυτός, λοιπόν, ο αριθμός Φ εμφανίζεται παντού όπου, στην περιοχή της φύσης και της τέχνης, φαίνεται να επικρατεί η έκδηλα αναγνωρίσιμη αρμονία. Και ο ορισμός του έχει δοθεί ήδη πριν από 2300 χρόνια, από τον Ευκλείδη, στα Στοιχεία –το βιβλίο, που, όπως σημείωσε ο μεγάλος μαθηματικός και παιδαγωγός του 20^ου αιώνα Λούτσο Λομπάρντο Ράντιτσε, «[μ]ετά τη Βίβλο και τα έργα του Λένιν, είναι το βιβλίο που έχει εκδοθεί και μεταφραστεί στις περισσότερες γλώσσες του κόσμου».

Πρόκειται για τον τρίτο ορισμό του βιβλίου VI των Στοιχείων, σύμφωνα με τον οποίο: «Μια ευθεία λέγεται ότι έχει τμηθεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όπως έχει η ολόκληρη ευθεία προς το μεγαλύτερο τμήμα, έχει το μεγαλύτερο τμήμα προς το μικρότερο». Ή, αλλιώς, «το όλο είναι του τμήματος, ό,τι το τμήμα για το υπόλοιπο». Αυτός ο λόγος είναι που ονομάζεται χρυσός και κάνει όσα θαυμαστά αναφέρθηκαν προηγουμένως.

Επιπλέον, ο αριθμός Φ συνδέεται με μια από τις πλέον ενδιαφέρουσες μαθηματικές οντότητες, την περίφημη ακολουθία Fibonacci. Η ακολουθία Φιμπονάτσι κατασκευάζεται με αριθμούς, ο καθένας από τους οποίους είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενών του. Να, λοιπόν, η σειρά των αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,… Η ακολουθία αυτή επίσης εμφανίζεται παντού στην φύση, σε μια ποικιλία σχημάτων και διαδικασιών. Ο αριθμός Φ, ο χρυσός λόγος, είναι το όριο, στο οποίο συγκλίνει ο λόγος των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Φιμπονάτσι. Πράγμα που κάνει εκπληκτική την περίπτωσή του από μαθηματική άποψη, αν το συνδυάσουμε, μάλιστα, με τους προηγούμενους ορισμούς του.

***

Ο Κορμπαλάν έχει γράψει ένα βιβλίο εξαιρετικό με αντικείμενο τον Φ. Γλαφυρό, πολύ πλούσιο σε πληροφορίες, γεμάτο εκπλήξεις και γνήσια αισθητική απόλαυση -και ταυτόχρονα πολύ περιεκτικό. Για το περιεχόμενό του οι 160 σελίδες είναι η ελάχιστη έκταση. Και ανοίγει έναν ολόκληρο κόσμο μαθηματικών, που απευθύνεται σχεδόν σε όλους, στο μέτρο που δεν απαιτεί τίποτε περισσότερο από μέτριες γνώσεις άλγεβρας σχολικού επιπέδου.