Μαθηματικά θαύματα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Μιχαήλ Καρίκης, The Weather Orchestra [Η μετεωρολογική ορχήστρα], 2022, βίντεοστιγμιότυπο

WILLIAM DUNHAM, Euler - Ο δάσκαλος όλων μας, μετάφραση Γιάννης Παπαδόγγονας,

εκδόσεις Εφαλτήριο, σελ. 206

Δεν γνωρίζω

J. L. Lagrange

Το «δεν γνωρίζω» του Λαγκράνζ είναι η υπογράμμιση του γεγονότος πως αυτά που υπάρχουν στον κόσμο είναι τόσο πολλά και ποικίλα, που κανείς, στην πραγματικότητα, δεν γνωρίζει παρά ελάχιστα. Μηδαμινά, σχεδόν. Φαίνεται να συντονίζεται εδώ με το αποδιδόμενο στον Σωκράτη “εν οίδα ότι ουδέν οίδα”: ένα γνωρίζω, ότι τίποτε δεν γνωρίζω. Ακραίος μηδενισμός; Απελπισία μπροστά στο άπειρο; Κάθε άλλο. Στην πραγματικότητα, ακριβώς αντίθετα, πρόκειται για την υπόμνηση πως δεν πρέπει να το παρακάνουμε στην εκτίμηση των επιτυχιών μας. Πράγμα που ισχύει για όλα, όπως ισχύει και για τα μαθηματικά.

Αν κάποιος θα μπορούσε να εξαιρεθεί από αυτόν τον κανόνα, αυτός θα ήταν ο Leonhard Euler. Ο πειρασμός για κάτι τέτοιο είναι μεγάλος, όσο περιηγούμαστε στις σελίδες του Dunham. Οι οποίες είναι γεμάτες από εντελώς απρόσμενες εκπλήξεις, πραγματικά μαθηματικά θαύματα. Ο Όιλερ (1707-1783) υπήρξε, αναμφισβήτητα ο παραγωγικότερος μαθηματικός όλων των εποχών. Το μέγεθος και η έκταση του έργου του -90 περίπου τόμοι των 600-700 σελίδων- είναι καθηλωτικό.

Επιπλέον, είναι ο πρώτος και, ίσως, ο μεγαλύτερος ανάμεσα στους «καθολικούς» μαθηματικούς, όπως σημειώνει ο ιστορικός των μαθηματικών E.T. Bell. Δεν υπάρχει, σχεδόν, τομέας των μαθηματικών, στον οποίο να μην παρήγαγε σπουδαίο έργο. Θεωρία αριθμών, διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, απειροσειρές, εκθετικές συναρτήσεις -λογάριθμοι, αναλυτική θεωρία αριθμών, μιγαδική ανάλυση, γεωμετρία -ευκλείδεια και αναλυτική, συνδυαστική ανάλυση, είναι μόνο κάποια από τα πεδία ενασχόλησής του. Αυτά στα οποία επιλέγει ο Dunham να εμβαθύνει.

Ο Όιλερ είχε απίστευτες υπολογιστικές ικανότητες με το μυαλό και ισχυρότατη μνήμη. Ήξερε από έξω την “Αινειάδα” και, παρόλο που σπάνια είχε ξανακοιτάξει το βιβλίο, μπορούσε να απαγγείλει πάντα τις πρώτες και τελευταίες γραμμές της κάθε σελίδας. Ακόμη και η ολική τύφλωσή του, σε συνδυασμό με πολλές προσωπικές καταστροφές, στα τελευταία δεκαεπτά χρόνια της ζωής του, όχι μόνο δεν επιβράδυνε, αλλά αύξησε την μαθηματική παραγωγικότητά του.

Ένα από τα πρώτα κατορθώματά του ήταν η επίλυση του περίφημου «προβλήματος της Βασιλείας». Πρόκειται για την προσπάθεια να βρεθεί το άπειρο άθροισμα («σειρά», στην τεχνική γλώσσα) τα αντίστροφων όλων των τετραγώνων. Ας το δούμε, αναλυτικά. Τα τετράγωνα των απειράριθμων ακεραίων αριθμών 1, 2, 3, 4, 5, …, είναι, κατά σειρά, 1, 4, 9, 16, 25,… Οι αντίστροφοί τους, λοιπόν, είναι 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25,…. Το «πρόβλημα της Βασιλείας» αφορούσε την εύρεση του άπειρου αθροίσματος αυτών των αντιστρόφων.

Η αναγνώστρια είναι πιθανό να συμπεράνει πως οι απειροσειρές, εφόσον είναι αθροίσματα άπειρων αριθμών, θα πρέπει να απειρίζονται και οι ίδιες. Πώς, αλλιώς; Αν προσθέσεις άπειρους το πλήθος αριθμούς, οσοδήποτε μικροί κι αν είναι, δεν είναι λογικό να πάρεις άπειρο; Η απάντηση είναι όχι. Μπορεί το αποτέλεσμα να τείνει στο άπειρο, μπορεί, όμως, και να είναι ένας πεπερασμένος αριθμός. Ίσως, μάλιστα, να είναι και ιδιαίτερα μικρός. Η αρμονική σειρά (1+1/2+1/3+1/4+1/5+…) ανήκει στην πρώτη περίπτωση. Τείνει στο άπειρο -στη μαθηματική γλώσσα, αποκλίνει.

Ας επιστρέψουμε, όμως, στην απειροσειρά του «προβλήματος της Βασιλείας». Λοιπόν, αυτή συγκλίνει, πράγμα που σημαίνει πως τείνει σε έναν συγκεκριμένο πεπερασμένο αριθμό. Ο Όιλερ το απέδειξε και βρήκε και τον αριθμό. Έδειξε, συγκεκριμένα, πως 1+1/4+1/9+1/16+1/25+… = π2/6, περίπου 1.7. Προσθέτοντας, λοιπόν, άπειρους το πλήθος αριθμούς βρίσκουμε 1.7! Η μαγεία των αποδείξεων είναι αναπάντεχη, πραγματικά.

Ο Dunham μας προσφέρει μια περιήγηση σε δεκάδες διαφορετικές μείζονες συμβολές του Όιλερ στα μαθηματικά. Από όλες τις περιοχές, στις οποίες αναφέρθηκα στην αρχή. Η ανάγνωση του βιβλίου είναι μοναδικά απολαυστική. Ίσαμε 30 αποδεδειγμένα κορυφαία θεωρήματα, με τις εκπλήξεις να ακολουθούν η μια την άλλη.

Ο “Euler”, όμως, είναι βιβλίο μαθηματικών, όχι ιστορίας των μαθηματικών. Που σημαίνει πως διαβάζεται με χαρτί και μολύβι και απαιτεί κόπο. Απευθύνεται, πρωτίστως, σε φοιτητές των φυσικομαθηματικών -και σχετικών- τμημάτων. Αυτοί είναι οι ιδανικοί αναγνώστες του. Δεν αφορά, όμως, μόνον αυτούς. Οι επαρκείς απόφοιτοι του Λυκείου μπορούν, επίσης, να κατανοήσουν ένα σημαντικό μέρος του. Ακόμη, όμως, και οι αγνοί ερασιτέχνες κάτι θα έχουν να αποκομίσουν.

Θα κλείσω με λίγα σχόλια για ένα χρησιμότατο κεφάλαιο των μαθηματικών, που είναι, όμως, ελάχιστα γνωστό ευρύτερα. Πρόκειται για την συνδυαστική ανάλυση. Δίνω ένα ερώτημα, για να το προσεγγίσουμε με έναν εύληπτο τρόπο. Ένας φούρνος παράγει τέσσερα είδη γλυκών. Αν θέλουμε να αγοράσουμε τρία, από αυτά, πόσες διαφορετικές επιλογές έχουμε; Ας ονομάσουμε α, β, γ, δ τα τέσσερα γλυκά. Είναι εύκολο να καταμετρήσουμε τις δυνατές τριάδες, ως εξής: αβγ, αγδ, αβδ, βγδ. Σύνολο τέσσερις. Με απλή απαρίθμηση απαντήσαμε στην ερώτηση.

Τι γίνεται, όμως, αν έχουμε μεγαλύτερους αριθμούς; Ας πάρουμε, π.χ., μια ποδοσφαιρική ομάδα, που έχει στην αποστολή της 18 παίκτες. Πόσες ενδεκάδες μπορούμε να φτιάξουμε; Αν δοκιμάσετε να απαριθμήσετε, γρήγορα θα βρεθείτε σε απελπισία. Με τους τύπους των συνδυασμών βρίσκουμε πως υπάρχουν 21.474.180 διαφορετικές ενδεκάδες! Ο Όιλερ προσέφερε τεράστια ώθηση σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, του οποίου τα ερωτήματα είναι κατανοητά, νομίζω, από την καθεμιά. Θα μπορούσαμε, επομένως, να ξεκινήσουμε κι από εκεί.

Όπως κι αν ξεκινήσουμε, όμως, η ευχαρίστηση είναι βέβαιη. Η εξαιρετική μετάφραση και η εκδοτική επιμέλεια έρχεται να υποστηρίξει ένα βιβλίο, που θα έπρεπε να βρίσκεται σε πολλές βιβλιοθήκες. Πολύ περισσότερο, που μπορούμε να το διαβάζουμε κομματιαστά, κεφάλαιο προς κεφάλαιο, ανεξαρτήτως σειράς, βάσει του εκάστοτε ενδιαφέροντός μας. Ή βάσει αυτού που μας είναι γνωστό.

*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός