Αυστηρά μαθηματικά και φυσική για τους πολλούς

ΑΠΟ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Του Χρήστου Λάσκου*

 

Kvant Selecta, Άλγεβρα και Ανάλυση Ι, μετάφραση: Γιάννης Παπαδόγγονας, εκδόσεις Εφαλτήριο, σελ. 198

 

Σύμφωνα με ένα παλιό μου ρητό, όταν έχεις αποκλείσει το αδύνατο, οτιδήποτε απομένει, οσοδήποτε απίθανο, πρέπει να είναι η αλήθεια

Σέρλοκ Χολμς

 
Υπάρχει ένα ανέκδοτο, για έναν αστρονόμο, έναν φυσικό κι έναν μαθηματικό, που ταξίδευαν με τρένο στην Σκοτία. Ρίχνοντας μια ματιά έξω από το παράθυρο, παρατήρησαν ένα μαύρο πρόβατο στη μέση ενός λιβαδιού.
«Πολύ ενδιαφέρον!», σχολίασε ο αστρονόμος. «Όλα τα σκοτσέζικα πρόβατα είναι μαύρα!».
Κάπως έκπληκτος, ο φυσικός είπε: «Ασφαλώς εννοείς ότι μερικά σκοτσέζικα πρόβατα είναι μαύρα».
Αλλά ο μαθηματικός θεώρησε ακόμη και αυτό κάπως βιαστικό.
«Νομίζω πως αυτό που και οι δυο εννοείτε», είπε, «είναι ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα πρόβατο στη Σκοτία, το οποίο είναι μαύρο σε μία τουλάχιστον πλευρά»[1].
Το ανέκδοτο, όσο κι αν αδικεί τον αστρονόμο και τον φυσικό, είναι απολύτως ακριβές σε ό,τι αφορά τον μαθηματικό. Οι μαθηματικοί είναι απολύτως αυστηροί. Τόσο που να μην αποδέχονται τίποτε -ακόμη και το πιο «προφανές»- παρά μόνο αν έχει αποδειχτεί. Και είναι εξίσου αυστηροί με το τι σημαίνει πως κάτι «έχει αποδειχτεί». Ο,τιδήποτε άλλο δεν είναι παρά εικασία. Ιδιαίτερα βάσιμη κάποιες φορές, αλλά, πάντως, εικασία.
Χαρακτηριστική είναι η εικασία του Γκόλντμπαχ, ο οποίος ισχυρίστηκε πως κάθε ζυγός αριθμός είναι άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Με σύμβολα: 2ν =α+β, όπου οι α, β είναι πρώτοι. διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους, και, προφανώς, τη μονάδα. Έτσι, ισχύει ότι 2 =1+1, 4 =1+3, 6 =3+3, 8 = 1+7 =3+5, 10 =…, ….. Όσοι αριθμοί έχουν δοκιμαστεί -και είναι πάρα πολλοί- πληρούν όλοι τον ισχυρισμό. Παρ’ όλα αυτά, εδώ και τρεις αιώνες, απόδειξη δεν έχει δοθεί. Οι μαθηματικοί, λοιπόν, δεν θεωρούν αληθινό παρά αυτό που έχει αποδειχτεί.
Ο τόμος Kvant Selecta είναι μια καταπληκτική συλλογή θεματικών από τον χώρο των μαθηματικών, που δείχνει τι σημαίνουν τα παραπάνω. Αποτελείται από 17 κεφάλαια στην Άλγεβρα και την Ανάλυση, τα οποία εκκινούν με μια εισαγωγή στο μελετώμενο θέμα και ακολουθούνται από προτάσεις με τις αποδείξεις τους, καθώς και από ασκήσεις εμβάθυνσης.

Το περιεχόμενο προέρχεται από δημοσιεύσεις στο σοβιετικό περιοδικό Kvant, που ιδρύθηκε το 1970 και ξεκίνησε να κυκλοφορεί σε μηνιαία βάση[2]. Το όνομά του είναι παρμένο από την φυσική. Κβάντο -οποιουδήποτε φυσικού μεγέθους- ονομάζεται η μικρότερη δυνατή ποσότητά του. Η μικρότερη δυνατή  μάζα, η μικρότερη δυνατή ενέργεια,… Εσχάτως, στο πλαίσιο της κβαντικής βαρύτητας, ακόμη και ο χώρος και ο χρόνος θεωρούνται κβαντισμένοι, αποτελούμενοι, δηλαδή, από ελάχιστα μέρη, μικρότερα από τα οποία είναι αδύνατον να υπάρξουν. Ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι συνεχείς, αλλά διακριτοί, αποτελούμενοι από «τουβλάκια» ορισμένου μεγέθους.

Το Kvant, λοιπόν, πήρε τον τίτλο του από μια επαναστατική τομή στην ιστορία της φυσικής και έθεσε ως στόχο να γεφυρώνει τα μαθηματικά και τη φυσική του Λυκείου με την ύλη των προπτυχιακών μαθημάτων. Θεωρείται πως κανένα έντυπο, πουθενά στον κόσμο, δεν το έκανε καλύτερα.
Η ποιότητά του βρήκε ευρεία ανταπόκριση από την στιγμή της κυκλοφορίας του. Στη δεκαετία του ’70 είχε περισσότερους από 300000 συνδρομητές! Όπως σημειώνεται στην εισαγωγή του βιβλίου, η ελκυστικότητά του οφείλονταν και στην εξαιρετική του εμφάνιση (πράγμα που ισχύει και για την ελληνική του έκδοση). Στο Kvant εργάστηκαν βραβευμένοι εικονογράφοι βιβλίων, στους οποίους το περιοδικό πρόσφερε μια ευκαιρία να εκφράζονται ελεύθερα: η τέχνη τους ήταν υπερβολικά τολμηρή για το γούστο των επίσημων κύκλων.
Από κάποια στιγμή κι έπειτα, απέκτησε και ένθετο για τους μαθητές του δημοτικού.
Να ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα από το παιδικό ένθετο: «Ο πληθυσμός της Σοβιετικής Ένωσης είναι περίπου 250 εκατομμύρια. Εξηγήστε γιατί δεν υπάρχει αρκετός χώρος για 250 ανθρώπους σε έναν χάρτη της Σοβιετικής Ένωσης σε κλίμακα 1:1000000».

***

Σε μεγάλο βαθμό, η φυσικομαθηματική έρευνα αφορά την επίλυση γρίφων. Εφόσον, λοιπόν, γίνει κατανοητή η βασική δομή τους, το πράγμα είναι όλο και πιο διασκεδαστικό. Δίνω ένα ακόμη παράδειγμα.
Οι ρητοί αριθμοί, τα κλάσματα, δηλαδή, που έχουν αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς μπορούν να εκφραστούν τελικά ως επαναλαμβανόμενοι δεκαδικοί. Έτσι, έχουμε 1/7 =0.142857142857142857….. και 1/13 =0.076923076923076923…  
Παρατηρούμε εύκολα πως ο εξαψήφιος αριθμός 142857 επαναλαμβάνεται στον πρώτο ρητό, ενώ ο 076923 στον δεύτερο. Ήδη η επαναληπτικότητα είναι ένα εντυπωσιακό στοιχείο. Πόσο μάλλον όταν αντιληφθούμε πως αν προσθέσουμε τα τρία πρώτα ψηφία του εξαψήφιου με τα τρία τελευταία παίρνουμε πάντα τον αριθμό 999 (142 +857 =999, 076 +923 =999). Κάτι τρέχει εδώ και είναι ενδιαφέρον. Επιπλέον, ενδιαφέρον είναι πως το 999 είναι ο μόλις μικρότερος του 1000.
Το 17^ο κεφάλαιο θα ασχοληθεί με τις «Απίθανες περιπέτειες στη χώρα των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών αριθμών». Αντίστοιχες περιπέτειες περιμένουν την αναγνώστρια σε κάθε ένα από τα κεφάλαια.
Όπως σημειώνεται στην εισαγωγή, από την ανάγνωση του Kvant, αποκομίζουμε  τα εξής διδάγματα: «τα μαθηματικά είναι ενιαία και όχι κατακερματισμένα σε πολλά ασύνδετα κομμάτια -τα μαθηματικά είναι όμορφα -οι θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες είναι απλές -ένα διδακτικό παράδειγμα αξίζει όσο μια αφηρημένη γενική θεωρία -και μια εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις. Ένα ακόμη δίδαγμα που αποκόμιζε κανείς ήταν ότι δεν ήταν αναγκαίο να περιμένει να φτάσει στις μεταπτυχιακές σπουδές για να ξεκινήσει έρευνα στα μαθηματικά -μάλιστα, μπορούσε να ξεκινήσει ακόμα και στο λύκειο (και πράγματι, οι Ρώσοι σπουδαστές αρχίζουν ανεξάρτητη έρευνα αρκετά νωρίτερα από τους σπουδαστές στη Δύση)».
Η μεταφραστική και εκδοτική δουλειά του Γιάννη Παπαδόγγονα είναι άψογη. Το Εφαλτήριο μας προσφέρει άλλο ένα εξαιρετικό βιβλίο.
 
*Ο Χρήστος Λάσκος είναι εκπαιδευτικός

---

[1] David Acheson, 1089 -Ένα μαγικό ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών, εκδόσεις οκτώ, σελ. 180, (μετάφραση: Νικόλας Πρωτονοτάριος)

[2] Το περιοδικό συνέχισε να εκδίδεται και μετά το τέλος της Σοβιετικής Ένωσης, ενώ από το 1994 έως το 2001 κυκλοφόρησε και στα ελληνικά, με τον τίτλο Quantum, σε εξαιρετική από αισθητική άποψη μορφή, από τις εκδόσεις Κάτοπτρο. 

Γιώργος Ζογγολόπουλος, Κυκλαδικό, 1990, ανοξείδωτος χάλυβας, 190 x 205 × 80 εκ., Συλλογή Ιδρύματος Γεωργίου Ζογγολόπουλου